Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 3x+1 \\
& ax-2a+b \\
\end{aligned} \right. \begin{matrix}
\text{khi} x>2 \\
\text{khi} x\le 2 \\
\end{matrix} $. Biết $ \int\limits_{0}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\text{d}x}=5 $. Tính giá trị của biểu thức $ T=2a-{{b}^{2}}+1$
A. $77$.
B. $79$.
C. $78$.
D. $80$.
& 3x+1 \\
& ax-2a+b \\
\end{aligned} \right. \begin{matrix}
\text{khi} x>2 \\
\text{khi} x\le 2 \\
\end{matrix} $. Biết $ \int\limits_{0}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\text{d}x}=5 $. Tính giá trị của biểu thức $ T=2a-{{b}^{2}}+1$
A. $77$.
B. $79$.
C. $78$.
D. $80$.
Hàm số liên tục tại $x=2\Rightarrow 3.2+1=2a-2a+b\Leftrightarrow b=7$
Đặt $t={{x}^{2}}+1\Rightarrow \text{d}t=2x\text{d}x$
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=2\Rightarrow t=5 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{5}{f\left( t \right)\text{d}t}=5\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{\left( ax-2a+7 \right)\text{d}x}+\int\limits_{2}^{5}{\left( 3x+1 \right)\text{d}x}=10$
$\Leftrightarrow a\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2ax+7x\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=-\dfrac{49}{2}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}a+7=-\dfrac{49}{2}\Leftrightarrow a=63$
Vậy $T=2.63-{{7}^{2}}+1$.
Đặt $t={{x}^{2}}+1\Rightarrow \text{d}t=2x\text{d}x$
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=2\Rightarrow t=5 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{5}{f\left( t \right)\text{d}t}=5\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{\left( ax-2a+7 \right)\text{d}x}+\int\limits_{2}^{5}{\left( 3x+1 \right)\text{d}x}=10$
$\Leftrightarrow a\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2ax+7x\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=-\dfrac{49}{2}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}a+7=-\dfrac{49}{2}\Leftrightarrow a=63$
Vậy $T=2.63-{{7}^{2}}+1$.
Đáp án C.