Google
Câu hỏi: Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 1;2018 \right]$ và $f\left( 2018-x \right)=f\left( x \right),\forall x\in \left[ 1;2018 \right],\int\limits_{1}^{2017}{f\left( x \right)dx}=10.$ Tính $I=\int\limits_{1}^{2017}{x.f\left( x \right)dx}.$
A. $I=10100.$
B. $I=20170.$
C. $I=20180.$
D. $I=10090.$
A. $I=10100.$
B. $I=20170.$
C. $I=20180.$
D. $I=10090.$
Đặt $t=2018-x\Rightarrow dx=-dt$
Đổi cận suy ra $I=\int\limits_{2017}^{1}{\left( 2018-t \right)f\left( 2018-t \right)\left( -dt \right)}=\int\limits_{1}^{2017}{\left( 2018-x \right)f\left( 2018-x \right)d\text{x}}$
Do $f\left( 2018-x \right)=f\left( x \right),\forall x\in \left[ 1;2018 \right]\Rightarrow I=\int\limits_{1}^{2017}{\left( 2018-x \right)f\left( x \right)dx}$
Suy ra $2I=\int\limits_{1}^{2017}{2018f(x)dx}\Rightarrow I=10090.$
Đổi cận suy ra $I=\int\limits_{2017}^{1}{\left( 2018-t \right)f\left( 2018-t \right)\left( -dt \right)}=\int\limits_{1}^{2017}{\left( 2018-x \right)f\left( 2018-x \right)d\text{x}}$
Do $f\left( 2018-x \right)=f\left( x \right),\forall x\in \left[ 1;2018 \right]\Rightarrow I=\int\limits_{1}^{2017}{\left( 2018-x \right)f\left( x \right)dx}$
Suy ra $2I=\int\limits_{1}^{2017}{2018f(x)dx}\Rightarrow I=10090.$
Đáp án D.