Google
Câu hỏi: Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;\pi \right]$ và : $f(\pi -x)=f(x)\ \forall x\in [0;\pi ]\ ,\ \int\limits_{0}^{\pi }{f(x)dx}=\dfrac{\pi }{2}$. Tính $I=\int\limits_{0}^{\pi }{x.f(x)dx}$.
A. $I=\dfrac{\pi }{2}.$
B. $I=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{2}.$
C. $I=\dfrac{\pi }{4}.$
D. $I=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{4}.$
A. $I=\dfrac{\pi }{2}.$
B. $I=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{2}.$
C. $I=\dfrac{\pi }{4}.$
D. $I=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{4}.$
Đặt $t=\pi -x\Rightarrow dt=-dx.\ $
$x=0\Rightarrow t=\pi ,\ x=\pi \Rightarrow t=0$
$I=-\int\limits_{\pi }^{0}{(\pi -t)f(\pi -t)dt}$
$=\int\limits_{0}^{\pi }{(\pi -t)f(t)dt}$
$=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{f(x)dx}-\int\limits_{0}^{\pi }{xf(x)dx}$
$\Rightarrow I=\pi .\dfrac{\pi }{2}-I\Rightarrow I=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{4}.$
$x=0\Rightarrow t=\pi ,\ x=\pi \Rightarrow t=0$
$I=-\int\limits_{\pi }^{0}{(\pi -t)f(\pi -t)dt}$
$=\int\limits_{0}^{\pi }{(\pi -t)f(t)dt}$
$=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{f(x)dx}-\int\limits_{0}^{\pi }{xf(x)dx}$
$\Rightarrow I=\pi .\dfrac{\pi }{2}-I\Rightarrow I=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{4}.$
Đáp án D.