Google
Câu hỏi: Hàm số $f\left( x \right)={{10}^{x}}+x$ và $g\left( x \right)={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right)x-2.$ Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y=g\left( x+f\left( x \right) \right)$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right].$ Khi $M$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $m$ bằng?
A. $\dfrac{21}{2}.$
B. $6.$
C. $21.$
D. $5.$
A. $\dfrac{21}{2}.$
B. $6.$
C. $21.$
D. $5.$
Ta có: ${f}'\left( x \right)={{10}^{x}}\ln 10+1>0,\forall x$
${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}+1 \right)>0,\forall x$ do ${\Delta }'=-2{{m}^{2}}-3<0.$
$y=g\left( x+f\left( x \right) \right)=g\left( {{10}^{x}}+2x \right).$
${y}'={{\left[ g\left( {{10}^{x}}+2x \right) \right]}^{\prime }}=\left( {{10}^{x}}\ln 10+2 \right).{g}'\left( {{10}^{x}}+2x \right)>0,\forall x\in \left[ 0;1 \right].$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ khi đó $\begin{aligned}
& M=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Maxy}} =y\left( 1 \right)=g\left( 12 \right)={{12}^{3}}-m{{.12}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right).12-2 \\
& \text{ = }12{{m}^{2}}-144m+1738=12.{{\left( m-6 \right)}^{2}}+1306\ge 1306 \\
\end{aligned}$
$M$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $m=6.$
${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}+1 \right)>0,\forall x$ do ${\Delta }'=-2{{m}^{2}}-3<0.$
$y=g\left( x+f\left( x \right) \right)=g\left( {{10}^{x}}+2x \right).$
${y}'={{\left[ g\left( {{10}^{x}}+2x \right) \right]}^{\prime }}=\left( {{10}^{x}}\ln 10+2 \right).{g}'\left( {{10}^{x}}+2x \right)>0,\forall x\in \left[ 0;1 \right].$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ khi đó $\begin{aligned}
& M=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Maxy}} =y\left( 1 \right)=g\left( 12 \right)={{12}^{3}}-m{{.12}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right).12-2 \\
& \text{ = }12{{m}^{2}}-144m+1738=12.{{\left( m-6 \right)}^{2}}+1306\ge 1306 \\
\end{aligned}$
$M$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $m=6.$
Đáp án B.