Hai số phức $z$ , $w$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Hai số phức

z

,

w

thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức

(1 + i) | z^{2} - 2 i z - 1 | = \frac{| 2022. \overset{―}{z} + 2022 |}{w} + 2 - 2 i

. Giá trị lớn nhất của

| w |

là
A.

\frac{2021 \sqrt{2}}{4}

.
B.

\frac{1011 \sqrt{2}}{2}

.
C.

\frac{2023 \sqrt{2}}{4}

.
D.

2019

.

Ta có:

| z - i | = | \overset{―}{z} + i |

nên

| z^{2} - 2 i z - 1 | = {| z - i |}^{2} = {| \overset{―}{z} + i |}^{2}

.
Phương trình

(1 + i) | z^{2} - 2 i z - 1 | = \frac{| 2022. \overset{―}{z} + 2022 |}{w} + 2 - 2 i

\Leftrightarrow (1 + i) {| \overset{―}{z} + i |}^{2} = \frac{| 2022 (\overset{―}{z} + 1) |}{w} + 2 - 2 i

\Leftrightarrow ({| \overset{―}{z} + i |}^{2} - 2) + ({| \overset{―}{z} + i |}^{2} + 2) i = \frac{| 2022 (\overset{―}{z} + i) |}{w}

(1)

.
Điều kiện:

w \neq 0

suy ra

\overset{―}{z} + i \neq 0

hay

| \overset{―}{z} + i | > 0

.
Đặt

t = | \overset{―}{z} + i |

,

t > 0

ta có phương trình

(1)

\Leftrightarrow (t^{2} - 2) + (t^{2} + 2) i = \frac{| 2022 (\overset{―}{z} + i) |}{w}

\Rightarrow \sqrt{{(t^{2} - 2)}^{2} + {(t^{2} + 2)}^{2}} = \frac{2022 t}{| w |} \Leftrightarrow | w | = 2022 \sqrt{\frac{t^{2}}{2 (t^{4} + 4)}} = 1011 \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{t^{2} + \frac{4}{t^{2}}}}

\Leftrightarrow | w | \leq 1011 \sqrt{2} . \sqrt{\frac{1}{2 \sqrt{t^{2} . \frac{4}{t^{2}}}}} = \frac{1011 \sqrt{2}}{2}

dấu bằng xảy ra khi

t^{2} = \frac{4}{t^{2}}

\Leftrightarrow | \overset{―}{z} + i | = \sqrt[2]{2}

\Leftrightarrow w = - \frac{1011 \sqrt{2}}{2} i

.

Đáp án B.

Hai số phức z, w thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức...