Google
Câu hỏi: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục Ox có phương trình lần lượt là ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)$ và ${{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)$. Xét các dao động tổng hợp $x={{x}_{1}}-{{x}_{1}}$ và $y={{x}_{1}}-{{x}_{1}}$. Biết rằng biên độ dao động của x gấp 2 lần biên độ dao động của y. Độ lệch pha cực đại giữa ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. ${{127}^{0}}$
B. ${{72}^{0}}$
C. ${{108}^{0}}$.
D. ${{53}^{0}}$
A. ${{127}^{0}}$
B. ${{72}^{0}}$
C. ${{108}^{0}}$.
D. ${{53}^{0}}$
Phương pháp:
+ Vận dụng phương pháp tổng hợp biên độ dao động điều hòa: ${{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi $
+ Sử dụng hệ thức lượng giác
+ Áp dụng BĐT Cosi
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
-{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}}+\pi \right) \\
\end{array} \right.$
Độ lệch pha của 2 dao động: $\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}$
Có: $x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$
Biên độ của x: $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }$
Với: $y={{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{x}_{1}}+\left( -{{x}_{2}} \right)$
Biên độ của y: $B=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos (\pi +\Delta \varphi )}\Rightarrow B$ $=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }$
Theo đầu bài, ta có: $A=2B$
$\Leftrightarrow {{A}^{2}}=4{{B}^{2}}\Leftrightarrow A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi =4\left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi \right)$
$\Rightarrow 3A_{1}^{2}+3A_{2}^{2}=10{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi =\cos \Delta \varphi =\dfrac{3\left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2} \right)}{10{{A}_{1}}{{A}_{2}}}$
Theo bất đẳng thức cosi ta có: $A_{1}^{2}+A_{2}^{2}\le 2{{A}_{1}}{{A}_{2}}$
$\Rightarrow \cos \Delta \varphi \le \dfrac{3.2{{A}_{{{A}_{2}}}}}{10{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \Delta \varphi \le {{53,13}^{0}}$
⇒ Độ lệch pha cực đại giữa ${{x}_{1}} v\grave{a} {{x}_{2}}$ là $\Delta \varphi ={{53,13}^{0}}$
+ Vận dụng phương pháp tổng hợp biên độ dao động điều hòa: ${{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi $
+ Sử dụng hệ thức lượng giác
+ Áp dụng BĐT Cosi
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
-{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}}+\pi \right) \\
\end{array} \right.$
Độ lệch pha của 2 dao động: $\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}$
Có: $x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$
Biên độ của x: $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }$
Với: $y={{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{x}_{1}}+\left( -{{x}_{2}} \right)$
Biên độ của y: $B=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos (\pi +\Delta \varphi )}\Rightarrow B$ $=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }$
Theo đầu bài, ta có: $A=2B$
$\Leftrightarrow {{A}^{2}}=4{{B}^{2}}\Leftrightarrow A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi =4\left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi \right)$
$\Rightarrow 3A_{1}^{2}+3A_{2}^{2}=10{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi =\cos \Delta \varphi =\dfrac{3\left( A_{1}^{2}+A_{2}^{2} \right)}{10{{A}_{1}}{{A}_{2}}}$
Theo bất đẳng thức cosi ta có: $A_{1}^{2}+A_{2}^{2}\le 2{{A}_{1}}{{A}_{2}}$
$\Rightarrow \cos \Delta \varphi \le \dfrac{3.2{{A}_{{{A}_{2}}}}}{10{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \Delta \varphi \le {{53,13}^{0}}$
⇒ Độ lệch pha cực đại giữa ${{x}_{1}} v\grave{a} {{x}_{2}}$ là $\Delta \varphi ={{53,13}^{0}}$
Đáp án D.