Google
Câu hỏi: Gọi $z$ là số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn $\left| z+1+i \right|=\left| \overline{z}+i \right|$. Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ bằng:
A. $\dfrac{3}{10}$.
B. $-\dfrac{1}{5}$.
C. $-\dfrac{3}{10}$.
D. $\dfrac{1}{5}$.
A. $\dfrac{3}{10}$.
B. $-\dfrac{1}{5}$.
C. $-\dfrac{3}{10}$.
D. $\dfrac{1}{5}$.
Giả sử $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$.
Từ $\left| z+1+i \right|=\left| \overline{z}+i \right|$ ta được $\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2x+{{b}^{2}}+2b+2={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1\Leftrightarrow a=\dfrac{-1-4b}{2}$
$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 1+4b \right)}^{2}}}{4}+{{b}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{20{{b}^{2}}+8b+1}{2}}$.
Hàm số $y=20{{b}^{2}}+8b+1$ đạt giá trị nhỉ nhất tại $b=-\dfrac{8}{40}=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{10}$.
Vậy $a+b=-\dfrac{3}{10}$.
Từ $\left| z+1+i \right|=\left| \overline{z}+i \right|$ ta được $\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2x+{{b}^{2}}+2b+2={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1\Leftrightarrow a=\dfrac{-1-4b}{2}$
$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 1+4b \right)}^{2}}}{4}+{{b}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{20{{b}^{2}}+8b+1}{2}}$.
Hàm số $y=20{{b}^{2}}+8b+1$ đạt giá trị nhỉ nhất tại $b=-\dfrac{8}{40}=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{10}$.
Vậy $a+b=-\dfrac{3}{10}$.
Đáp án C.