Google
Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ lần lượt là hai số phức thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+4+2i \right|=\sqrt{13}$ và $\left| {{z}_{2}}+8-2i \right|=\left| {{z}_{2}}-4-10i \right|.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}+5-4i \right|$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 6;7 \right).$
B. $\left( 7;8 \right).$
C. $\left( 8;9 \right).$
D. $\left( 9;10 \right).$
A. $\left( 6;7 \right).$
B. $\left( 7;8 \right).$
C. $\left( 8;9 \right).$
D. $\left( 9;10 \right).$
Gọi $M,N,I\left( -4;-2 \right),A\left( -8;2 \right),B\left( 4;10 \right),C\left( -5;4 \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},-4-2i,-8+2i,4+10i,-5+4i.$
Từ giả thiết suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( I;\sqrt{13} \right),N$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB.$
Gọi $C'$ là điểm đối xứng với $C$ qua $d\Rightarrow C'\left( 1;8 \right).$
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}+5-4i \right|=MN+NC=MN+NC'.$
Suy ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}+5-4i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M,N,C'$ thẳng hàng.
Khi đó $\min \left( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}+5-4i \right| \right)=IC'-\sqrt{13}=\sqrt{125}-\sqrt{13}\approx 7,57.$
Từ giả thiết suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( I;\sqrt{13} \right),N$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB.$
Gọi $C'$ là điểm đối xứng với $C$ qua $d\Rightarrow C'\left( 1;8 \right).$
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}+5-4i \right|=MN+NC=MN+NC'.$
Suy ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}+5-4i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M,N,C'$ thẳng hàng.
Khi đó $\min \left( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}+5-4i \right| \right)=IC'-\sqrt{13}=\sqrt{125}-\sqrt{13}\approx 7,57.$
Đáp án B.