Google
Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z+2-2i \right|=4$ và đồng thời thỏa mãn điều kiện $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$. Giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+6 \right|$ gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A. 7
B. 6,5
C. 7,3
D. 6,2
Ta có $A\left( {{z}_{1}} \right)$, $B\left( {{z}_{2}} \right)$ nằm trên đường tròn tâm $I\left( -2;2 \right)$ bán kính $R=4$ và $OA+OB=AB$ nên AB là một dây cung thay đổi và luôn đi qua O.
Ta gọi điểm $C\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)$ thì $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ suy ra C là điểm đối xứng với O qua M nên $IC=IO$
vậy $C\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -2;2 \right)$ bán kính $r=2\sqrt{2}$.
Do đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+2-2i \right|=2\sqrt{2}$.
Vậy áp dụng bất đẳng thức Module ta được:
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+6 \right|=\left| \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+2-2i \right)+\left( 4+2i \right) \right|\le 2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
A. 7
B. 6,5
C. 7,3
D. 6,2
Ta có $A\left( {{z}_{1}} \right)$, $B\left( {{z}_{2}} \right)$ nằm trên đường tròn tâm $I\left( -2;2 \right)$ bán kính $R=4$ và $OA+OB=AB$ nên AB là một dây cung thay đổi và luôn đi qua O.
Ta gọi điểm $C\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)$ thì $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ suy ra C là điểm đối xứng với O qua M nên $IC=IO$
vậy $C\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -2;2 \right)$ bán kính $r=2\sqrt{2}$.
Do đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+2-2i \right|=2\sqrt{2}$.
Vậy áp dụng bất đẳng thức Module ta được:
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+6 \right|=\left| \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+2-2i \right)+\left( 4+2i \right) \right|\le 2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
Đáp án C.