Google
Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức thoả mãn đồng thời hai điều kiện $\left| z-1-i \right|=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}; \left| z-2-mi \right|=\left| z+m \right|$ với $m$ là số thực tuỳ ý. Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn hình học của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Gọi $S$ là tập các giá trị của $m$ để diện tích tam giác $ABI$ lớn nhất với $I\left( 1;1 \right)$. Tổng bình phương các phần tử của $S$ bằng
A. $\dfrac{17}{4}$.
B. $65$.
C. $\dfrac{5}{4}$.
D. $80$.
Đặt $z=x+yi$, $\left( x ,y\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó
$\left| z-1-i \right|=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}$ ;
$ \left| z-2-mi \right|=\left| z+m \right|$ $\Leftrightarrow 2\left( m+2 \right)x+2my-4=0$.
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là giao điểm của đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}$ có tâm $I\left( 1;1 \right)$, bán kính $R=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ và đường thẳng $d:\left( m+2 \right)x+my-2=0$
Gọi $A$, $B$ là hai điểm biểu diễn ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$. Suy ra $\left( C \right)\cap d=\left\{ A,B \right\}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.
Khi đó: ${{S}_{IAB}}=\dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat{AIB}\le \dfrac{1}{2}IA.IB\le \dfrac{2}{5}$.
Vậy diện tích tam giác $ABI$ lớn nhất bằng $\dfrac{2}{5}$ khi $IA\bot IB\Rightarrow AB=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\Rightarrow IH=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Ta có $\dfrac{\sqrt{10}}{5}=IH=d\left( I;d \right)\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{10}}{5}=\dfrac{\left| 2m \right|}{\sqrt{{{\left( m+2 \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}}\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-4m-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $S=\left\{ \dfrac{-1}{2};1 \right\}$.
A. $\dfrac{17}{4}$.
B. $65$.
C. $\dfrac{5}{4}$.
D. $80$.
$\left| z-1-i \right|=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}$ ;
$ \left| z-2-mi \right|=\left| z+m \right|$ $\Leftrightarrow 2\left( m+2 \right)x+2my-4=0$.
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là giao điểm của đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}$ có tâm $I\left( 1;1 \right)$, bán kính $R=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ và đường thẳng $d:\left( m+2 \right)x+my-2=0$
Gọi $A$, $B$ là hai điểm biểu diễn ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$. Suy ra $\left( C \right)\cap d=\left\{ A,B \right\}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.
Khi đó: ${{S}_{IAB}}=\dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat{AIB}\le \dfrac{1}{2}IA.IB\le \dfrac{2}{5}$.
Vậy diện tích tam giác $ABI$ lớn nhất bằng $\dfrac{2}{5}$ khi $IA\bot IB\Rightarrow AB=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\Rightarrow IH=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Ta có $\dfrac{\sqrt{10}}{5}=IH=d\left( I;d \right)\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{10}}{5}=\dfrac{\left| 2m \right|}{\sqrt{{{\left( m+2 \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}}\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-4m-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $S=\left\{ \dfrac{-1}{2};1 \right\}$.
Đáp án C.