Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 4 z + 5 = 0.

Giá trị của biểu thức

{(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019}

bằng
A.

2^{1009} .

B.

2^{1010} .

C. 0.
D.

- 2^{1010} .

Xét phương trình:

z^{2} - 4 z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z - 2)}^{2} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{aligned} z_{1} = 2 + i \\ z_{2} = 2 - i \end{aligned} .

Khi đó ta có:

{(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019} = {(1 + i)}^{2019} + {(1 - i)}^{2019}

= (1 + i) . {[{(1 + i)}^{2}]}^{1009} + (1 - i) . {[{(1 - i)}^{2}]}^{1009}

= (1 + i) . {(2 i)}^{1009} + (1 - i) . {(- 2 i)}^{1009}

= {(2 i)}^{1009} . [(1 + i) - (1 - i)] = {(2 i)}^{1010} = - 2^{1010} .

Lũy thừa đơn vị ảo i

i^{4 n} = 1; i^{4 n + 1} = i; i^{4 n + 2} = - 1; i^{4 n + 3} = - i (n \in N)

.

Đáp án D.

Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình...