Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-4z+5=0.$ Giá trị của biểu thức ${{\left( {{z}_{1}}-1 \right)}^{2019}}+{{\left( {{z}_{2}}-1 \right)}^{2019}}$ bằng
A. ${{2}^{1009}}.$
B. ${{2}^{1010}}.$
C. 0.
D. $-{{2}^{1010}}.$
A. ${{2}^{1009}}.$
B. ${{2}^{1010}}.$
C. 0.
D. $-{{2}^{1010}}.$
Xét phương trình: ${{\text{z}}^{2}}-4z+5=0\Leftrightarrow {{\left( z-2 \right)}^{2}}=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=2+i \\
& {{z}_{2}}=2-i \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có: ${{\left( {{z}_{1}}-1 \right)}^{2019}}+{{\left( {{z}_{2}}-1 \right)}^{2019}}={{\left( 1+i \right)}^{2019}}+{{\left( 1-i \right)}^{2019}}$
$=\left( 1+i \right).{{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1009}}+\left( 1-i \right).{{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{1009}}$
$=\left( 1+i \right).{{\left( 2i \right)}^{1009}}+\left( 1-i \right).{{\left( -2i \right)}^{1009}}$
$={{\left( 2i \right)}^{1009}}.\left[ \left( 1+i \right)-\left( 1-i \right) \right]={{\left( 2i \right)}^{1010}}=-{{2}^{1010}}.$
& {{z}_{1}}=2+i \\
& {{z}_{2}}=2-i \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có: ${{\left( {{z}_{1}}-1 \right)}^{2019}}+{{\left( {{z}_{2}}-1 \right)}^{2019}}={{\left( 1+i \right)}^{2019}}+{{\left( 1-i \right)}^{2019}}$
$=\left( 1+i \right).{{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1009}}+\left( 1-i \right).{{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{1009}}$
$=\left( 1+i \right).{{\left( 2i \right)}^{1009}}+\left( 1-i \right).{{\left( -2i \right)}^{1009}}$
$={{\left( 2i \right)}^{1009}}.\left[ \left( 1+i \right)-\left( 1-i \right) \right]={{\left( 2i \right)}^{1010}}=-{{2}^{1010}}.$
Lũy thừa đơn vị ảo i ${{i}^{4n}}=1;{{i}^{4n+1}}=i;{{i}^{4n+2}}=-1;{{i}^{4n+3}}=-i\left( n\in \mathbb{N} \right)$. |
Đáp án D.