Google
Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+4z+5=0.$ Đặt $w={{\left( 1+{{z}_{1}} \right)}^{100}}+{{\left( 1+{{z}_{2}} \right)}^{100}}.$ Khi đó:
A. $w=-{{2}^{51}}i.$
B. $w=-{{2}^{51}}.$
C. $w={{2}^{51}}.$
D. $w=-{{2}^{50}}i.$
A. $w=-{{2}^{51}}i.$
B. $w=-{{2}^{51}}.$
C. $w={{2}^{51}}.$
D. $w=-{{2}^{50}}i.$
Xét phương trình ${{z}^{2}}+4z+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=-2+i \\
& {{z}_{2}}=-2-i \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $w={{\left( 1+{{z}_{1}} \right)}^{100}}+{{\left( 1+{{z}_{2}} \right)}^{100}}={{\left( -1+i \right)}^{100}}+{{\left( -1-i \right)}^{100}}={{\left[ {{\left( -1+i \right)}^{2}} \right]}^{50}}+{{\left[ {{\left( -1-i \right)}^{2}} \right]}^{50}}$
$\Leftrightarrow {{\left( -2i \right)}^{50}}+{{\left( 2i \right)}^{50}}=2{{\left( 2i \right)}^{50}}={{2}^{51}}.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{25}}={{\left( -1 \right)}^{25}}{{2}^{51}}=-{{2}^{51}}.$
& {{z}_{1}}=-2+i \\
& {{z}_{2}}=-2-i \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $w={{\left( 1+{{z}_{1}} \right)}^{100}}+{{\left( 1+{{z}_{2}} \right)}^{100}}={{\left( -1+i \right)}^{100}}+{{\left( -1-i \right)}^{100}}={{\left[ {{\left( -1+i \right)}^{2}} \right]}^{50}}+{{\left[ {{\left( -1-i \right)}^{2}} \right]}^{50}}$
$\Leftrightarrow {{\left( -2i \right)}^{50}}+{{\left( 2i \right)}^{50}}=2{{\left( 2i \right)}^{50}}={{2}^{51}}.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{25}}={{\left( -1 \right)}^{25}}{{2}^{51}}=-{{2}^{51}}.$
Đáp án B.