Google
Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là hai số phức khác nhau thoả mãn đồng thời hai hệ thức $\left| z+2+i \right|=2$ và $\left| z-m+i \right|=\left| z+3-mi \right|$, trong đó m là tham số thực. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. 4.
B. $2\sqrt{3}.$
C. 2.
D. $2\sqrt{2}.$
A. 4.
B. $2\sqrt{3}.$
C. 2.
D. $2\sqrt{2}.$
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z thì điêm M nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;-1 \right)$ bán kính $R=2$.
Mặt khác $\left| z-m+i \right|=\left| z+3-mi \right|\Leftrightarrow \left| \left( x+yi \right)-m+i \right|=\left| x+yi+3-mi \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-m \right)}^{2}}\Leftrightarrow -2mx+2y+{{m}^{2}}+1=6x-2my+9+{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2mx-2my+6x-2y+8=0\Leftrightarrow m\left( x-y \right)+3x-y+4=0\left( d \right)$
Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x-y=0 \\
& 3x-y+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=-2\Rightarrow d $ luôn đi qua điểm $ K\left( -2;-2 \right)$
Hai điểm A, B lần lượt biểu diễn ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $A,B\in \left( C \right)$ đồng thời thuộc d
Ta có $A{{B}_{\min }}\Leftrightarrow d{{\left( I;d \right)}_{\max }}=IK=1\Leftrightarrow A{{B}_{\min }}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}.$
Mặt khác $\left| z-m+i \right|=\left| z+3-mi \right|\Leftrightarrow \left| \left( x+yi \right)-m+i \right|=\left| x+yi+3-mi \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-m \right)}^{2}}\Leftrightarrow -2mx+2y+{{m}^{2}}+1=6x-2my+9+{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2mx-2my+6x-2y+8=0\Leftrightarrow m\left( x-y \right)+3x-y+4=0\left( d \right)$
Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x-y=0 \\
& 3x-y+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=-2\Rightarrow d $ luôn đi qua điểm $ K\left( -2;-2 \right)$
Hai điểm A, B lần lượt biểu diễn ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $A,B\in \left( C \right)$ đồng thời thuộc d
Ta có $A{{B}_{\min }}\Leftrightarrow d{{\left( I;d \right)}_{\max }}=IK=1\Leftrightarrow A{{B}_{\min }}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}.$
Đáp án B.