Gọi ${{z}_{0}}=a+bi \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là số phức...

Cách 1: (Phương pháp hình học)
Đặt $z=x+yi \left( x, y\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó $M\left( x; y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z
Ta có $\left| z \right|=\left| \overline{z}-1+2i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=\left| x-yi-1+2i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-y \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2x+4y-5=0$
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng $\Delta :2x+4y-5=0$
Mặt khác ta có $\left| z \right|=OM$. Do đó $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, tức là khi M là hình chiếu của O trên ∆.
Gọi ${\Delta }'$ là đường thẳng qua O vuông góc với ∆. Phương trình của ${\Delta }'$ là $2x-y=0$
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+4y-5=0 \\
& 2x-y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+4y=5 \\
& 2x-y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{2} \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{z}_{0}}=\dfrac{1}{2}+i\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}, b=1\Rightarrow 2a+4b=5$
Cách 2: (Phương pháp đại số)
Đặt $z=x+yi \left( x, y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\left| z \right|=\left| \overline{z}-1+2i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=\left| x-yi-1+2i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-y \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2x+4y-5=0$
Ta có $2x+4y-5=0\Leftrightarrow 5=2x+4y\Rightarrow 25={{\left( 2x+4y \right)}^{2}}\le \left( {{2}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \dfrac{25}{20}\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \left| z \right|\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4} \\
& 2x+4y-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x-y=0 \\
& 2x+4y-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{2} \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{z}_{0}}=\dfrac{1}{2}+i\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}, b=1\Rightarrow 2a+4b=5$
Cách 3: (Phương pháp đại số)
Đặt $z=x+yi \left( x, y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\left| z \right|=\left| \overline{z}-1+2i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=\left| x-yi-1+2i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-y \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2x+4y-5=0$
Ta có $2x+4y-5=0\Leftrightarrow y=\dfrac{5-2x}{4}$
Khi đó ${{\left| z \right|}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{5-2x}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{20{{x}^{2}}-20x+25}{16}$
Hàm số $f\left( x \right)=20{{x}^{2}}-20x+25$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 20 đạt được khi $x=\dfrac{1}{2}$ (có thể dùng MTCT để tìm kết quả này). Khi $x=\dfrac{1}{2}$ thì $y=1$
Vậy ${{z}_{0}}=\dfrac{1}{2}+i\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}, b=1\Rightarrow 2a+4b=5$.