Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình...

Vì $2^{2\left(x^2+2\right)}-2^{x^2+3}+1=2^{2\left(x^2+2\right)}-2.2^{x^2+2}+1=\left(2^{x^2+2}-1\right)^2 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$ nên phương trình có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2^{x^2+4}=2^{2\left(x^2+1\right)}+\sqrt{\left(2^{x^2+2}-1\right)^2} \Leftrightarrow 2^{x^2+4}=2^{2\left(x^2+1\right)}+2^{x^2+2}-1$
$\Leftrightarrow 2^{x^2+1+3}-2^{2\left(x^2+1\right)}-2^{x^2+1+1}+1=0 \Leftrightarrow 2^3 \cdot 2^{x^2+1}-2^{2\left(x^2+1\right)}-2 \cdot 2^{x^2+1}+1=0$
$\Leftrightarrow 2^3 \cdot 2^{x^2+1}-2^{2\left(x^2+1\right)}-2 \cdot 2^{x^2+1}+1=0 \Leftrightarrow-2^{2\left(x^2+1\right)}+6 \cdot 2^{x^2+1}+1=0$
Đặt $t=2^{x^2+1}, t>0(*)$.
Phương (1) trở thành $-t^2+6 t+1=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=3-\sqrt{10} \\ t=3+\sqrt{10}\end{array}\right.$ đối chiếu với điều kiện $(*)$ ta được $t=$ $3+\sqrt{10}$
Khi đó ta được $2^{x^2+1}=3+\sqrt{10} \Leftrightarrow x^2+1=\log _2(3+\sqrt{10}) \Leftrightarrow x^2=-1+\log _2(3+\sqrt{10})$
$\Leftrightarrow x= \pm \sqrt{-1+\log _2(3+\sqrt{10})}$.
Suy ra tổng hai nghiệm bằng không.