Gọi $X$ là tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn đường thẳng $\left( d \right):y=-12m-7$ cùng với đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số...

Phương pháp:
- Tìm điểm uốn $I$ của đồ thị hàm số.
- Vì đường thẳng $(d)$ cùng với đồ thị $(C)$ tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là $S_{1}$ và $S_{2}$ thỏa mãn
$S_{1}=S_{2}$ nên $I \in d$.
- Giải phương trình bậc ba tìm $m$.
Cách giải:
Ta có:
$y=\dfrac{1}{3} x^{3}-m x^{2}-4 x-1$
$\Rightarrow y^{\prime}=x^{2}-2 m x-4$
$\Rightarrow y^{\prime \prime}=2 x-2 m$
$y^{\prime \prime}=0 \Leftrightarrow 2 x-2 m=0 \Leftrightarrow x=m$
Với $x=m \Rightarrow y=\dfrac{1}{3} m^{3}-m^{3}-4 m-1=-\dfrac{2}{3} m^{3}-4 m-1 .$
$\Rightarrow I\left(m ;-\dfrac{2}{3} m^{3}-4 m-1\right)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Vì đường thẳng $(d)$ cùng với đồ thị $(C)$ tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là $S_{1}$ và $S_{2}$ thỏa mãn $S_{1}=S_{2}$ nên $I \in d$.
$\Rightarrow-\dfrac{2}{3} m^{3}-4 m-1=-12 m-7 \Leftrightarrow-\dfrac{2}{3} m^{3}+8 m+6=0$
$\Leftrightarrow(m+3)\left(m^{2}-3 m+3\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-3 \\ m=\dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\end{array} .\right.$
$\Rightarrow X=\left\{3 ; \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\right\}$
Vậy tích các phần tử của $X$ bằng 9 .