Google
Câu hỏi: Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)$ là nghiệm của phương trình ${{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=4.$ Khi đó $2019{{x}_{1}}+2020{{x}_{2}}$ bằng
A. 4039.
B. 1.
C. $-1.$
D. 2020.
A. 4039.
B. 1.
C. $-1.$
D. 2020.
Đặt $t={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}},t>0$ ta có ${{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}.$
Ta có phương trình $t+\dfrac{1}{t}=4\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow t=2\pm \sqrt{3}.$
* Với $t=2+\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=2+\sqrt{3}\Leftrightarrow x=1.$
* Với $t=2-\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=2-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-1.$ Vậy ${{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=1.$
Do đó $2019{{x}_{1}}+2020{{x}_{2}}=-2019+2020=1.$
Ta có phương trình $t+\dfrac{1}{t}=4\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow t=2\pm \sqrt{3}.$
* Với $t=2+\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=2+\sqrt{3}\Leftrightarrow x=1.$
* Với $t=2-\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=2-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-1.$ Vậy ${{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=1.$
Do đó $2019{{x}_{1}}+2020{{x}_{2}}=-2019+2020=1.$
Đáp án B.