Google
Câu hỏi: Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $3{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=0$. Chọn khẳng định đúng?
A. ${{x}_{0}}\in \left( \dfrac{\pi }{2};\pi \right).$
B. ${{x}_{0}}\in \left( \dfrac{3\pi }{2};2\pi \right).$
C. ${{x}_{0}}\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$
D. ${{x}_{0}}\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right).$
A. ${{x}_{0}}\in \left( \dfrac{\pi }{2};\pi \right).$
B. ${{x}_{0}}\in \left( \dfrac{3\pi }{2};2\pi \right).$
C. ${{x}_{0}}\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$
D. ${{x}_{0}}\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right).$
Với $\cos x=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=1$ không phải là nghiệm của phương trình.
Với $\cos x\ne 0$
Phương trình tương đương với:
$\begin{aligned}
& 3{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=0\Leftrightarrow 3\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+2\dfrac{\sin x}{\cos x}-1=0 \\
& \Leftrightarrow 3{{\tan }^{2}}x+2\tan x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \tan x=-1 \\
& \tan x=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \\
& x=\arctan \dfrac{1}{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\arctan \dfrac{1}{3}\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Với $\cos x\ne 0$
Phương trình tương đương với:
$\begin{aligned}
& 3{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=0\Leftrightarrow 3\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+2\dfrac{\sin x}{\cos x}-1=0 \\
& \Leftrightarrow 3{{\tan }^{2}}x+2\tan x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \tan x=-1 \\
& \tan x=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \\
& x=\arctan \dfrac{1}{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\arctan \dfrac{1}{3}\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Đáp án C.