Google
Câu hỏi: Gọi $V,{{\text{V}}_{1}},{{\text{V}}_{2}}$ lần lượt là thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi một tam giác vuông khi quay quanh cạnh huyền và các cạnh góc vuông của tam giác đó. Biết ${{V}_{1}}=3$ và ${{V}_{2}}=4$. Khi đó giá trị của V là:
A. $V=5$
B. $V=7$
C. $V=\dfrac{12}{5}$
D. $V=\dfrac{7}{12}$
Đặt $BC=a,AC=b,AB=c,AH=h$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& V=\dfrac{1}{3}BC.\pi {{h}^{2}}=\dfrac{\pi a{{h}^{2}}}{3} \\
& {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}CA.\pi A{{B}^{2}}=\dfrac{\pi b{{c}^{2}}}{3} \\
& {{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}BA.\pi A{{C}^{2}}=\dfrac{\pi c{{b}^{2}}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{V}^{2}}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{a}^{2}}{{h}^{4}}} \\
& \dfrac{1}{V_{1}^{2}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{4}}} \\
& \dfrac{1}{V_{2}^{2}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{c}^{2}}{{b}^{4}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra:
$\dfrac{1}{V_{1}^{2}}+\dfrac{1}{V_{2}^{2}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{4}}}+\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{c}^{2}}{{b}^{4}}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}\left( \dfrac{1}{{{c}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}} \right)$
$=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{a}^{2}}{{h}^{2}}}.\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{a}^{2}}{{h}^{4}}}=\dfrac{1}{{{V}^{2}}}$.
Vậy $\dfrac{1}{{{V}^{2}}}=\dfrac{1}{V_{1}^{2}}+\dfrac{1}{V_{2}^{2}}\Rightarrow V=\dfrac{{{V}_{1}}.{{V}_{2}}}{\sqrt{V_{1}^{2}+V_{2}^{2}}}=\dfrac{3.4}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{12}{5}$.
A. $V=5$
B. $V=7$
C. $V=\dfrac{12}{5}$
D. $V=\dfrac{7}{12}$
Đặt $BC=a,AC=b,AB=c,AH=h$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& V=\dfrac{1}{3}BC.\pi {{h}^{2}}=\dfrac{\pi a{{h}^{2}}}{3} \\
& {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}CA.\pi A{{B}^{2}}=\dfrac{\pi b{{c}^{2}}}{3} \\
& {{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}BA.\pi A{{C}^{2}}=\dfrac{\pi c{{b}^{2}}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{V}^{2}}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{a}^{2}}{{h}^{4}}} \\
& \dfrac{1}{V_{1}^{2}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{4}}} \\
& \dfrac{1}{V_{2}^{2}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{c}^{2}}{{b}^{4}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra:
$\dfrac{1}{V_{1}^{2}}+\dfrac{1}{V_{2}^{2}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{4}}}+\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{c}^{2}}{{b}^{4}}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}\left( \dfrac{1}{{{c}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}} \right)$
$=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{a}^{2}}{{h}^{2}}}.\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}{{a}^{2}}{{h}^{4}}}=\dfrac{1}{{{V}^{2}}}$.
Vậy $\dfrac{1}{{{V}^{2}}}=\dfrac{1}{V_{1}^{2}}+\dfrac{1}{V_{2}^{2}}\Rightarrow V=\dfrac{{{V}_{1}}.{{V}_{2}}}{\sqrt{V_{1}^{2}+V_{2}^{2}}}=\dfrac{3.4}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{12}{5}$.
Đáp án C.