Google
Câu hỏi: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=0$ và $x=4$ quanh trục Ox.
Đường thẳng $x=a\left( 0<a<4 \right)$ cắt đồ thị hàm $y=\sqrt{x}$ tại M (hình vẽ). Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng $V=2{{V}_{1}}$. Khi đó
A. a = 2.
B. $a=2\sqrt{2}.$
C. $a=\dfrac{5}{2}.$
D. a = 3.
Đường thẳng $x=a\left( 0<a<4 \right)$ cắt đồ thị hàm $y=\sqrt{x}$ tại M (hình vẽ). Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng $V=2{{V}_{1}}$. Khi đó
A. a = 2.
B. $a=2\sqrt{2}.$
C. $a=\dfrac{5}{2}.$
D. a = 3.
Ta có: $V=\pi \int\limits_{0}^{4}{xdx=8\pi .}$
Đường thẳng $x=a\left( 0<a<4 \right)$ cắt đồ thị hàm $y=\sqrt{x}$ tại $M\left( a;\sqrt{a} \right)\Rightarrow MK=\sqrt{a}.$
Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung bán kính đáy là R = MK
Hình nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ có đỉnh là O, chiều cao ${{h}_{1}}=OK=a.$
Hình nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ thứ 2 có đỉnh là H, chiều cao ${{h}_{2}}=HK=4-a.$
Nên thể tích: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}{{h}_{1}}+\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}{{h}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi a$
Theo đề bài: $V=2{{V}_{1}}\Leftrightarrow 8\pi =2.\dfrac{4}{3}\pi a\Rightarrow a=3.$
Đường thẳng $x=a\left( 0<a<4 \right)$ cắt đồ thị hàm $y=\sqrt{x}$ tại $M\left( a;\sqrt{a} \right)\Rightarrow MK=\sqrt{a}.$
Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung bán kính đáy là R = MK
Hình nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ có đỉnh là O, chiều cao ${{h}_{1}}=OK=a.$
Hình nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ thứ 2 có đỉnh là H, chiều cao ${{h}_{2}}=HK=4-a.$
Nên thể tích: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}{{h}_{1}}+\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}{{h}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi a$
Theo đề bài: $V=2{{V}_{1}}\Leftrightarrow 8\pi =2.\dfrac{4}{3}\pi a\Rightarrow a=3.$
Đáp án D.