Google
Câu hỏi: Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x=a \left( 0<a<4 \right)$ cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại $M$ ( hình vẽ). Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Tìm $a$ sao cho $V=2{{V}_{1}}$
A. $a=\dfrac{3}{2}.$
B. $a=2\sqrt{2}.$
C. $a=\dfrac{5}{2}.$
D. $a=3.$
B. $a=2\sqrt{2}.$
C. $a=\dfrac{5}{2}.$
D. $a=3.$
Ta có $\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0$.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$ : $V=\pi \int\limits_{0}^{4}{x\text{dx} \text{=} \text{8}\pi }$.
Ta có $M\left( a;\sqrt{a} \right)$
Khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$ tạo thành hình nón có chung đáy:
Hình nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ có đỉnh $O$, chiều cao ${{h}_{1}}=OK=a$, bán kính đáy $R=MK=\sqrt{a}$.
Hình nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ có đỉnh $H$, chiều cao ${{h}_{2}}=HK=4-a$, bán kính đáy $R=MK=\sqrt{a}$.
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.{{h}_{1}}+\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.{{h}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}.a+\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}.\left( 4-a \right)$ $=\dfrac{4}{3}\pi a$.
Theo đề bài $V=2{{V}_{1}}\Rightarrow 8\pi =2.\dfrac{4}{3}\pi .a\Rightarrow a=3$
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$ : $V=\pi \int\limits_{0}^{4}{x\text{dx} \text{=} \text{8}\pi }$.
Ta có $M\left( a;\sqrt{a} \right)$
Khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$ tạo thành hình nón có chung đáy:
Hình nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ có đỉnh $O$, chiều cao ${{h}_{1}}=OK=a$, bán kính đáy $R=MK=\sqrt{a}$.
Hình nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ có đỉnh $H$, chiều cao ${{h}_{2}}=HK=4-a$, bán kính đáy $R=MK=\sqrt{a}$.
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.{{h}_{1}}+\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.{{h}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}.a+\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}.\left( 4-a \right)$ $=\dfrac{4}{3}\pi a$.
Theo đề bài $V=2{{V}_{1}}\Rightarrow 8\pi =2.\dfrac{4}{3}\pi .a\Rightarrow a=3$
Đáp án D.