Câu hỏi: Gọi $T$ là tập hợp tất cả các số phức $z$ thõa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=2$ và $\left| {{z}_{2}} \right|=3$, $\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{17}$. Gọi $M,m$ lần lượt là các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $T=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-10-12i \right|$. Khi đó $M.n$ bằng
A. $148$.
B. $149$.
C. $150$.
D. $151$.
A. $148$.
B. $149$.
C. $150$.
D. $151$.
Ta có
$\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{17}\Leftrightarrow 4{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)=17$
$\Rightarrow \left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)=4$.
Đặt $\text{w}=3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}$ và $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $\text{w}$,suy ra
${{\left| \text{w} \right|}^{2}}={{\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|}^{2}}=9{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+4{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+6\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)=96$
$\left| \text{w} \right|=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$. Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $O,R=4\sqrt{6}$. Gọi $A=\left( 10;12 \right)$ ta có
$T=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-10-12i \right|=MA$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& M{{A}_{Max}}=A{{M}_{2}}=OA+R \\
& M{{A}_{\min }}=A{{M}_{1}}=OA-R \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M.m=O{{A}^{2}}-{{R}^{2}}=$148.
$\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{17}\Leftrightarrow 4{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)=17$
$\Rightarrow \left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)=4$.
Đặt $\text{w}=3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}$ và $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $\text{w}$,suy ra
${{\left| \text{w} \right|}^{2}}={{\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|}^{2}}=9{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+4{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+6\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)=96$
$\left| \text{w} \right|=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$. Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $O,R=4\sqrt{6}$. Gọi $A=\left( 10;12 \right)$ ta có
$T=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-10-12i \right|=MA$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& M{{A}_{Max}}=A{{M}_{2}}=OA+R \\
& M{{A}_{\min }}=A{{M}_{1}}=OA-R \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M.m=O{{A}^{2}}-{{R}^{2}}=$148.
Đáp án B.