Google
Câu hỏi: Gọi số phức $z=a+bi, \left( a, b\in \mathbb{R} \right)$ thoả mãn $\left| z-1 \right|=1$ và $\left( 1+i \right)\left( \overline{z}-1 \right)$ có phần thực bằng $1$ đồng thời $z$ không là số thực. Khi đó $a.b$ bằng:
A. $-2$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $-1$.
A. $-2$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $-1$.
Ta có $\left| z-1 \right|=1\Leftrightarrow \left| a+bi-1 \right|=1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 $ (1).
Ta có $\left( 1+i \right)\left( \overline{z}-1 \right)=\left( 1+i \right)\left( a-1-bi \right)=a-1+b+\left( a-1-b \right)i$.
Suy ra $a-1+b=1\Rightarrow a-1=1-b$ (2)
Thế (2) và (1) ta được ${{\left( 1-b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-2b=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0\Rightarrow a=2\Rightarrow z=2 \\
& b=1\Rightarrow a=1\Rightarrow z=1+i \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $z$ không là số thực nên $z=1+i\Rightarrow a.b=1$.
Ta có $\left( 1+i \right)\left( \overline{z}-1 \right)=\left( 1+i \right)\left( a-1-bi \right)=a-1+b+\left( a-1-b \right)i$.
Suy ra $a-1+b=1\Rightarrow a-1=1-b$ (2)
Thế (2) và (1) ta được ${{\left( 1-b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-2b=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0\Rightarrow a=2\Rightarrow z=2 \\
& b=1\Rightarrow a=1\Rightarrow z=1+i \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $z$ không là số thực nên $z=1+i\Rightarrow a.b=1$.
Đáp án B.