Gọi $S$ tập hợp các giá trị $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1$ có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. Tổng bình...

Phương pháp:
- Giải phương trình $y'=0,$ từ đó tìm ba điểm cực trị của hàm số.
- Sử dụng: Tam giác $ABC$ vuông tại $A\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0.$
Cách giải:
Ta có $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1\Rightarrow y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x$
$y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow 4x\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}={{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right..$
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình $y'=0$ phải có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m\ne 0.$
Khi đó ta có $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=1 \\
& x=m\Rightarrow y=-{{m}^{4}}+1 \\
& x=-m\Rightarrow y=-{{m}^{4}}+1 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra các điểm cực trị của hàm số đã cho là: $A\left( 0;1 \right);B\left( m;-{{m}^{4}}+1 \right);C\left( -m;-{{m}^{4}}+1 \right).$
Vì $A\in Oy,B,C$ đối xứng nhau qua $Oy$ nên $\Delta ABC$ cân tại $A,$ do đó để $ABC$ là tam giác vuông thì phải vuông tại $A\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( m;-{{m}^{4}} \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( -m;-{{m}^{4}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+{{m}^{8}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( {{m}^{6}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.$
Có $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên $BC=AB\sqrt{2}\Rightarrow 4{{m}^{2}}=2\left( {{m}^{2}}+{{m}^{8}} \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0\left( tm \right) \\
& m=\pm 1\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $S=\left\{ -1;1 \right\}\Rightarrow $ Tổng bình phương các phần tử của $S$ bằng 2.