Gọi $S$ là tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ để bất phương...

Ta có:
$\ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( 7-m \right){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0\ \ \left( 1 \right) \\
m{{x}^{2}}+4x+m>0\ \ \left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$
Bất phương trình đã cho đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi các bất phương trình $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Xét $\left( 7-m \right){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0$ $\left( 1 \right)$.
+ Khi $m=7$ ta có $\left( 1 \right)$ trở thành $-4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0$. Do đó $m=7$ không thỏa mãn.
+ Khi $m\ne 7$ ta có $\left( 1 \right)$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7-m>0 \\
& \Delta '\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<7 \\
& 4-{{\left( 7-m \right)}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<7 \\
& m\le 5\vee m\ge 9 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow m\le 5 $ $ \left( * \right)$.
Xét $m{{x}^{2}}-4x+m>0$ $\left( 2 \right)$.
+ Khi $m=0$ ta có $\left( 2 \right)$ trở thành $-4x>0\Leftrightarrow x<0$. Do đó $m=0$ không thỏa mãn.
+ Khi $m\ne 0$ ta có $\left( 2 \right)$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& \Delta '<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& 4-{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m<-2\vee m>2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow m>2 $ $ \left( ** \right)$.
Từ $\left( * \right)$ và $\left( ** \right)$ ta có $2<m\le 5$. Do $m\in Z$ nên $m\in \left\{ 3;4;5 \right\}$. Từ đó $S=3+4+5=12$.