Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{4}^{x}}+7={{2}^{x+3}}+{{m}^{2}}+6m$ có nghiệm $x\in \left( 1;3 \right).$ Chọn...

Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ $t={{2}^{x}},$ tìm khoảng giá trị của $t.$
- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn $t,$ cô lập $m,$ phương trình dạng $f\left( t \right)=m.$
- Phương trình có nghiệm khi $m$ thuộc tập giá trị của hàm số trên khoảng giá trị của $t.$
Cách giải:
Ta có:
${{4}^{x}}+7={{2}^{x+3}}+{{m}^{2}}+6m$
$\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{8.2}^{x}}={{m}^{2}}+6m-7\left( 1 \right)$
Đặt ${{2}^{x}}=t,$ với $x\in \left( 1;3 \right)$ thì $t\in \left( 2;8 \right).$
Phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-8t={{m}^{2}}+6m-7\left( 2 \right)$ với $t\in \left( 2;8 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-8t,t\in \left( 2;8 \right).$
Ta có $f'\left( t \right)=2t-8;f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=4\in \left( 2;8 \right)$
Lại có $f\left( 2 \right)=-12;f\left( 4 \right)=-16;f\left( 8 \right)=0.$
Mà hàm $f\left( t \right)$ xác định và liên tục trên $t\in \left( 2;8 \right)$ nên $-16\le f\left( t \right)<0.$
Do đó phương trình (2) có nghiệm trên $t\in \left( 2;8 \right)\Leftrightarrow -16\le {{m}^{2}}+6m-7<0\Leftrightarrow -7<m<1.$
Mà $m\in \mathbb{Z}.$ Vậy $m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2;-1;0 \right\}.$ Do đó $S=-21.$