Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|...

Xét $u=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-14{{x}^{2}}+48x+m-30$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$.
${u}'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-28x+48=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-6\notin \left[ 0; 2 \right] \\
x=2\in \left[ 0; 2 \right] \\
x=4\notin \left[ 0; 2 \right] \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\text{max u}}} =\text{max}\left\{ u(0),u\left( 2 \right) \right\}=\text{max}\left\{ m-30,m+14 \right\}=m+14$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Max}} y=\max \left\{ \left| m-30 \right|,\left| m+14 \right| \right\}$.
Trường hợp 1: $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Max}} y=\left| m+14 \right|$
$\left\{ \begin{matrix}
\left| m+14 \right|\ge \left| m-30 \right| \\
\left| m+14 \right|\le 30 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{\left| m+14 \right|}^{2}}\ge {{\left| m-30 \right|}^{2}} \\
-30\le m+14\le 30 \\
\end{matrix} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
88m\ge 704 \\
-44\le m\le 16 \\
\end{matrix} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ge 8 \\
-44\le m\le 16 \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow 8\le m\le 16$, mà $m\in \mathbb{Z}$.
$\Leftrightarrow m\in \left\{ 8;9;10;...;16 \right\}$.
Trường hợp 2: $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Max}} y=\left| m-30 \right|$
$\left\{ \begin{matrix}
\left| m-30 \right|\ge \left| m+14 \right| \\
\left| m-30 \right|\le 30 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{\left| m+14 \right|}^{2}}\le {{\left| m-30 \right|}^{2}} \\
-30\le m-30\le 30 \\
\end{matrix} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
88m\le 704 \\
0\le m\le 60 \\
\end{matrix} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\le 8 \\
0\le m\le 60 \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow 0\le m\le 8$, mà $m\in \mathbb{Z}$.
$\Leftrightarrow m\in \left\{ 0;1;2;...;8 \right\}$.
Vậy tổng các giá trị $m$ thỏa mãn là: $0+1+2+...+16=136$.