Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn...

Xét hàm số $y=\dfrac{mx+m+3}{x+m+2}$ với $x\ne -m-2$, có $y'=\dfrac{{{m}^{2}}+m-3}{{{\left( x+m+2 \right)}^{2}}}.$
Hàm số $y=\left| \dfrac{mx+m+3}{x+m+2} \right|$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau :
Trường hợp 1:
$\left\{ \begin{aligned}
& y'=\dfrac{{{m}^{2}}+m-3}{{{\left( x+m+2 \right)}^{2}}}<0 \\
& y\left( 1 \right)\le 0 \\
& -m-2\notin \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.,\forall x>1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+m-3>0 \\
& \dfrac{2m+3}{m+3}\ge 0 \\
& -m-2\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2} \\
& m>\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ge -\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}.$
Trường hợp 2:
$\left\{ \begin{aligned}
& y'=\dfrac{{{m}^{2}}+m-3}{{{\left( x+m+2 \right)}^{2}}}<0 \\
& y\left( 1 \right)\le 0 \\
& -m-2\notin \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.,\forall x>1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+m-3<0 \\
& \dfrac{2m+3}{m+3}\le 0 \\
& -m-2\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}<m\le -\dfrac{3}{2}.$
Suy ra $m\in \left( \dfrac{-1-\sqrt{13}}{2};-\dfrac{3}{2} \right]\cup \left( \dfrac{-1+\sqrt{13}}{2};+\infty \right)$, lại do $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -10;10 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow m\in \left\{ -2;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\}$. Vậy tổng các phần tử của S bằng 52.