Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $\left( {{2}^{x}}-2x...

Ta có:
Xét phương trình với
Cho nên ta có bảng biến thiên:

Vì phương trình có hai nghiệm
Xét phương trình có nghiệm khi
Ta có: ;
+ Nếu nhận nghiệm đồng thời phương trình vô nghiệm nên phương trình có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
+ Nếu phương trình có nghiệm nên phương trình có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán khi nghiệm của phương trình thuộc hoặc chỉ có một trong hai thỏa điều kiện .
Vì nguyên và
Vậy có nguyên và thỏa đề.