Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $\left( {{2}^{x}}-2x \right)\sqrt{{{3}^{{{2}^{x}}}}-m}=0$ (với $m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên $m\in \left[ -2021;2022 \right]$ để tập hợp $S$ có hai phần tử?
A. $2093.$
B. $2095.$
C. $2094.$
D. $2096\cdot $
A. $2093.$
B. $2095.$
C. $2094.$
D. $2096\cdot $
Ta có: $\left( {{2}^{x}}-2x \right)\sqrt{{{3}^{{{2}^{x}}}}-m}=0\left( * \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}-2x=0 \\
& {{3}^{{{2}^{x}}}}-m=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{3}^{{{2}^{x}}}}-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}-2x=0\left( 1 \right) \\
& {{3}^{{{2}^{x}}}}=m \\
\end{aligned} \right. \\
& {{3}^{{{2}^{x}}}}\ge m \\
\end{aligned} \right.$
Xét phương trình ${{2}^{x}}-2x=0$ với $f\left( x \right)={{2}^{x}}-2x$ $\Rightarrow f'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-2$
Cho $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( \dfrac{2}{\ln 2} \right)$ nên ta có bảng biến thiên:
Vì $f\left( {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2}{\ln 2} \right) \right)<0\Rightarrow $ phương trình ${{2}^{x}}-2x=0$ có hai nghiệm $x=1\vee x=2$
Xét phương trình ${{3}^{{{2}^{x}}}}=m\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{\log }_{3}}m$ có nghiệm khi $m>1$
Ta có: $x=1$ $\Rightarrow {{3}^{{{2}^{x}}}}=9$ ; $x=2$ $\Rightarrow {{3}^{{{2}^{x}}}}=81$
+ Nếu $m\le 1\Rightarrow m<9;m<81$ $\Rightarrow $ nhận nghiệm $x=1\vee x=2$ đồng thời phương trình ${{3}^{{{2}^{x}}}}=m$ vô nghiệm nên phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
+ Nếu $m>1\Rightarrow $ phương trình ${{3}^{{{2}^{x}}}}=m$ có nghiệm nên phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán khi nghiệm của phương trình ${{3}^{{{2}^{x}}}}=m$ thuộc $\left\{ 1;2 \right\}$ hoặc chỉ có một trong hai $x\in \left\{ 1;2 \right\}$ thỏa điều kiện ${{3}^{{{2}^{x}}}}-m\ge 0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& {{3}^{{{2}^{1}}}}=m;{{3}^{{{2}^{2}}}}\ge m \\
& {{3}^{{{2}^{2}}}}=m;{{3}^{{{2}^{1}}}}\ge m \\
& {{3}^{{{2}^{1}}}}<m<{{3}^{{{2}^{2}}}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& 9=m;81\ge m \\
& 81=m;9\ge m \\
& 9<m<81 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m$ nguyên và $m\in \left[ -2021;2022 \right]$ $\Rightarrow $ $m\in \left\{ -2021;-2020;...;-1;0 \right\}\cup \left\{ 9;10;...80 \right\}$
Vậy có $2094$ $m$ nguyên và $m\in \left[ -2021;2022 \right]$ thỏa đề.
& \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}-2x=0 \\
& {{3}^{{{2}^{x}}}}-m=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{3}^{{{2}^{x}}}}-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}-2x=0\left( 1 \right) \\
& {{3}^{{{2}^{x}}}}=m \\
\end{aligned} \right. \\
& {{3}^{{{2}^{x}}}}\ge m \\
\end{aligned} \right.$
Xét phương trình ${{2}^{x}}-2x=0$ với $f\left( x \right)={{2}^{x}}-2x$ $\Rightarrow f'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-2$
Cho $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( \dfrac{2}{\ln 2} \right)$ nên ta có bảng biến thiên:
Vì $f\left( {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2}{\ln 2} \right) \right)<0\Rightarrow $ phương trình ${{2}^{x}}-2x=0$ có hai nghiệm $x=1\vee x=2$
Xét phương trình ${{3}^{{{2}^{x}}}}=m\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{\log }_{3}}m$ có nghiệm khi $m>1$
Ta có: $x=1$ $\Rightarrow {{3}^{{{2}^{x}}}}=9$ ; $x=2$ $\Rightarrow {{3}^{{{2}^{x}}}}=81$
+ Nếu $m\le 1\Rightarrow m<9;m<81$ $\Rightarrow $ nhận nghiệm $x=1\vee x=2$ đồng thời phương trình ${{3}^{{{2}^{x}}}}=m$ vô nghiệm nên phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
+ Nếu $m>1\Rightarrow $ phương trình ${{3}^{{{2}^{x}}}}=m$ có nghiệm nên phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán khi nghiệm của phương trình ${{3}^{{{2}^{x}}}}=m$ thuộc $\left\{ 1;2 \right\}$ hoặc chỉ có một trong hai $x\in \left\{ 1;2 \right\}$ thỏa điều kiện ${{3}^{{{2}^{x}}}}-m\ge 0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& {{3}^{{{2}^{1}}}}=m;{{3}^{{{2}^{2}}}}\ge m \\
& {{3}^{{{2}^{2}}}}=m;{{3}^{{{2}^{1}}}}\ge m \\
& {{3}^{{{2}^{1}}}}<m<{{3}^{{{2}^{2}}}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& 9=m;81\ge m \\
& 81=m;9\ge m \\
& 9<m<81 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m$ nguyên và $m\in \left[ -2021;2022 \right]$ $\Rightarrow $ $m\in \left\{ -2021;-2020;...;-1;0 \right\}\cup \left\{ 9;10;...80 \right\}$
Vậy có $2094$ $m$ nguyên và $m\in \left[ -2021;2022 \right]$ thỏa đề.
Đáp án C.