Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $\left( {{2}^{x}}-2x...

Ta có: $(2^x-2x)\sqrt{3^{2^x}-m}=0(\ast )$ $\iff \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& 2^x-2x=0\\ & 3^{2^x}-m=0\end{array}\\ & 3^{2^x}-m\ge 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& 2^x-2x=0\left(1\right)\\ & 3^{2^x}=m\end{array}\\ & 3^{2^x}\ge m\end{array}$
Xét phương trình $2^x-2x=0$ với $f\left(x\right)=2^x-2x$ $\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=2^x\ln 2-2$
Cho $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x={\log }_2\left({\displaystyle \frac{2}{\ln 2}}\right)$ nên ta có bảng biến thiên:

Vì $f\left({\log }_2\left({\displaystyle \frac{2}{\ln 2}}\right)\right)<0\Rightarrow$ phương trình $2^x-2x=0$ có hai nghiệm $x=1\vee x=2$
Xét phương trình $3^{2^x}=m\iff 2^x={\log }_{3}m$ có nghiệm khi $m>1$
Ta có: $x=1$ $\Rightarrow 3^{2^x}=9$ ; $x=2$ $\Rightarrow 3^{2^x}=81$
+ Nếu $m\le 1\Rightarrow m<9;m<81$ $\Rightarrow$ nhận nghiệm $x=1\vee x=2$ đồng thời phương trình $3^{2^x}=m$ vô nghiệm nên phương trình $(\ast )$ có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
+ Nếu $m>1\Rightarrow$ phương trình $3^{2^x}=m$ có nghiệm nên phương trình $(\ast )$ có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán khi nghiệm của phương trình $3^{2^x}=m$ thuộc $\{1;2\}$ hoặc chỉ có một trong hai $x\in \{1;2\}$ thỏa điều kiện $3^{2^x}-m\ge 0$ $\iff$ $[\begin{array}{rl}& 3^{2^1}=m;3^{2^2}\ge m\\ & 3^{2^2}=m;3^{2^1}\ge m\\ & 3^{2^1}<m<3^{2^2}\end{array}$ $\iff$ $[\begin{array}{rl}& 9=m;81\ge m\\ & 81=m;9\ge m\\ & 9<m<81\end{array}$.
Vì $m$ nguyên và $m\in [-2021;2022]$ $\Rightarrow$ $m\in \{-2021;-2020;...;-1;0\}\cup \{9;10;...80\}$
Vậy có $2094$ $m$ nguyên và $m\in [-2021;2022]$ thỏa đề.