Google
Câu hỏi: Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2$ trên $\mathbb{R}$. Tổng các phần tử của S bằng
A. $8+\sqrt{2}.$
B. $4+\sqrt{2}.$
C. $6+\sqrt{2}.$
D. $8.$
A. $8+\sqrt{2}.$
B. $4+\sqrt{2}.$
C. $6+\sqrt{2}.$
D. $8.$
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& x\ne 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+2{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \left( 2x-2 \right)\left| x-3 \right| \right]=1\Leftrightarrow \left( 2x-2 \right)\left| x-3 \right|=2\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left| x-3 \right|=1(*)$
Với $x\ge 3$ ta có (*) $\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2+\sqrt{2} \\
& x=2-\sqrt{2}(l) \\
\end{aligned} \right.$
Với x < 3 ta có (*) $\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow x=2$
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là $4+\sqrt{2}$.
& x>1 \\
& x\ne 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+2{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \left( 2x-2 \right)\left| x-3 \right| \right]=1\Leftrightarrow \left( 2x-2 \right)\left| x-3 \right|=2\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left| x-3 \right|=1(*)$
Với $x\ge 3$ ta có (*) $\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2+\sqrt{2} \\
& x=2-\sqrt{2}(l) \\
\end{aligned} \right.$
Với x < 3 ta có (*) $\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow x=2$
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là $4+\sqrt{2}$.
Đáp án B.