. Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2{{\log }_{2}}\left( 2x-2...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& x\ne 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $2{{\log }_{2}}\left( 2\text{x}-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( 2\text{x}-2 \right)+2{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2\text{x}-2 \right)+{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \left( 2\text{x}-2 \right)\left| x-3 \right| \right]=1\Leftrightarrow \left( 2\text{x}-2 \right)\left| x-3 \right|2\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left| x-3 \right|=1$ (*)
Với $x\ge 3$ ta có (*) $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4\text{x}+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2+\sqrt{2} \\
& x=2-\sqrt{2}\left( \ell \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $x<3$ ta có (*) $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)=-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4\text{x}+4=0\Leftrightarrow x=2$.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là $4+\sqrt{2}$.