Google
Câu hỏi: Gọi S là tập hợp tất các các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=\left| \dfrac{{{x}^{2}}+2mx+4m}{x+2} \right|$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 1.
B. $-\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $-\dfrac{3}{2}$.
A. 1.
B. $-\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $-\dfrac{3}{2}$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+2mx+4m}{x+2}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$.
Hàm số xác định và liên tục trên $\left[ -1;1 \right]$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+4x}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1;1 \right] \\
& x=-4\notin \left[ -1;1 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta lại có $g\left( 0 \right)=2m;g\left( -1 \right)=2m+1;g\left( 1 \right)=2m+\dfrac{1}{3}$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=2m \\
& \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=2m+1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| 2m \right|;\left| 2m+1 \right| \right\}$.
Theo đề bài: $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=3$ nên ta có: $\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2m+1 \right|=3 \\
& \left| 2m+1 \right|\ge \left| 2m \right| \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2m \right|=3 \\
& \left| 2m \right|\ge \left| 2m+1 \right| \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tổng các phần tử thuộc tập S bằng $1+\left( -\dfrac{3}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}$.
Lưu ý:
Tìm tham số để $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=a$ (với $a>0$ ).
Phương pháp:
Tìm $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m \\
& \underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=M \\
\end{aligned} \right.\left( M>m \right)$.
Suy ra: $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| m \right|,\left| M \right| \right\}$.
Theo đề bài: $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=a$ nên ta có hai trường hợp:
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| M \right|=a \\
& \left| m \right|\le a \\
\end{aligned} \right.$
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|=a \\
& \left| M \right|\le a \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+2mx+4m}{x+2}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$.
Hàm số xác định và liên tục trên $\left[ -1;1 \right]$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+4x}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1;1 \right] \\
& x=-4\notin \left[ -1;1 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta lại có $g\left( 0 \right)=2m;g\left( -1 \right)=2m+1;g\left( 1 \right)=2m+\dfrac{1}{3}$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=2m \\
& \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=2m+1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| 2m \right|;\left| 2m+1 \right| \right\}$.
Theo đề bài: $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=3$ nên ta có: $\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2m+1 \right|=3 \\
& \left| 2m+1 \right|\ge \left| 2m \right| \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2m \right|=3 \\
& \left| 2m \right|\ge \left| 2m+1 \right| \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tổng các phần tử thuộc tập S bằng $1+\left( -\dfrac{3}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}$.
Lưu ý:
Tìm tham số để $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=a$ (với $a>0$ ).
Phương pháp:
Tìm $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m \\
& \underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=M \\
\end{aligned} \right.\left( M>m \right)$.
Suy ra: $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| m \right|,\left| M \right| \right\}$.
Theo đề bài: $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=a$ nên ta có hai trường hợp:
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| M \right|=a \\
& \left| m \right|\le a \\
\end{aligned} \right.$
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|=a \\
& \left| M \right|\le a \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án B.