Google
Câu hỏi: Gọi $S$ lả tập hợp tất cả các số phức $w=2 z-5+i$ sao cho số phức z thỏa mãn $(z-3+i)(\bar{z}-3-i)=36$. Xét các số phức $w_{1}, w_{2} \in S$ thỏa mãn $\left|w_{1}-w_{2}\right|=2$. Giá trị lớn nhất của $P=\left|w_{1}-5 i\right|^{2}-\left|w_{2}-5 i\right|^{2}$ bằng
A. $7 \sqrt{13}$
B. $4 \sqrt{37}$
C. $5 \sqrt{17}$
D. 20
A. $7 \sqrt{13}$
B. $4 \sqrt{37}$
C. $5 \sqrt{17}$
D. 20
Đặt $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. $(z-3+i)(\bar{z}-3-i)=36\Leftrightarrow \left[ a-3+\left( b+1 \right)i \right]\left[ a-3-\left( b+1 \right)i \right]=36\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=36$.
$\Leftrightarrow {{\left( 2a-6 \right)}^{2}}+{{\left( 2b+2 \right)}^{2}}=144$.
Đặt $w=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.$w=2z-5+i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2a-5 \\
& y=2b+1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ta có ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=144$.
$w$ là tập hợp các đường điểm nằm trên đường tròn tâm $C\left( I,10 \right),I\left( 1;-1 \right)$.
$M,N$ biểu diễn cho ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$ khí đó $MN=2$. $A\left( 0;5 \right)$ biểu diễn cho số phức $5i$.
$P={{\left| {{w}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{w}_{2}}-5i \right|}^{2}}=A{{M}^{2}}-A{{N}^{2}}={{\left( \overrightarrow{IA}-\overline{IM} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IN} \right)}^{2}}=-2\overrightarrow{IA}\left( \overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IN} \right)$
$P=2\overrightarrow{IA}\overrightarrow{MN}=2.IA.MN.\cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{MN} \right)\le 2IA.MN=2.\sqrt{37}.2=4\sqrt{37}$.
Dấu "= " xảy ra khi $\overrightarrow{IA,}\overrightarrow{MN}$ cùng hướng.
$\Leftrightarrow {{\left( 2a-6 \right)}^{2}}+{{\left( 2b+2 \right)}^{2}}=144$.
Đặt $w=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.$w=2z-5+i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2a-5 \\
& y=2b+1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ta có ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=144$.
$w$ là tập hợp các đường điểm nằm trên đường tròn tâm $C\left( I,10 \right),I\left( 1;-1 \right)$.
$M,N$ biểu diễn cho ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$ khí đó $MN=2$. $A\left( 0;5 \right)$ biểu diễn cho số phức $5i$.
$P={{\left| {{w}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{w}_{2}}-5i \right|}^{2}}=A{{M}^{2}}-A{{N}^{2}}={{\left( \overrightarrow{IA}-\overline{IM} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IN} \right)}^{2}}=-2\overrightarrow{IA}\left( \overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IN} \right)$
$P=2\overrightarrow{IA}\overrightarrow{MN}=2.IA.MN.\cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{MN} \right)\le 2IA.MN=2.\sqrt{37}.2=4\sqrt{37}$.
Dấu "= " xảy ra khi $\overrightarrow{IA,}\overrightarrow{MN}$ cùng hướng.
Đáp án B.