Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+m \right|$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ bằng 18. Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng:
A. $-2$
B. 9
C. 7
D. 0
A. $-2$
B. 9
C. 7
D. 0
Phương pháp:
- Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+m$ trên $\left[ 1;3 \right].$
- Tìm $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right),\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right).$
- Suy ra $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right) \right|,\left| \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right) \right| \right\}$
- Xét từng trường hợp $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right) \right|,\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right) \right|$ và tìm $m.$
Cách giải:
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+m$ trên $\left[ 1;3 \right]$ ta có $g'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\notin \left[ 1;3 \right] \\
& x=2\in \left[ 1;3 \right] \\
& x=-2\notin \left[ 1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $g\left( 1 \right)=m-7,g\left( 3 \right)=m+9,g\left( 2 \right)=m-16.$
$\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=m-16,\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=m+9.$
$\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| m-16 \right|;\left| m+9 \right| \right\}.$
TH1: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| m-16 \right|\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| m-16 \right|=18 \\
& \left| m-16 \right|\ge \left| m+9 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2.$
TH2: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| m+9 \right|\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+9 \right|=18 \\
& \left| m-16 \right|\le \left| m+9 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=9$
$\Rightarrow S=\left\{ -2;9 \right\}.$
Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng $-2+9=7.$
- Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+m$ trên $\left[ 1;3 \right].$
- Tìm $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right),\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right).$
- Suy ra $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right) \right|,\left| \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right) \right| \right\}$
- Xét từng trường hợp $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right) \right|,\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right) \right|$ và tìm $m.$
Cách giải:
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+m$ trên $\left[ 1;3 \right]$ ta có $g'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\notin \left[ 1;3 \right] \\
& x=2\in \left[ 1;3 \right] \\
& x=-2\notin \left[ 1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $g\left( 1 \right)=m-7,g\left( 3 \right)=m+9,g\left( 2 \right)=m-16.$
$\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=m-16,\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=m+9.$
$\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| m-16 \right|;\left| m+9 \right| \right\}.$
TH1: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| m-16 \right|\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| m-16 \right|=18 \\
& \left| m-16 \right|\ge \left| m+9 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2.$
TH2: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| m+9 \right|\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+9 \right|=18 \\
& \left| m-16 \right|\le \left| m+9 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=9$
$\Rightarrow S=\left\{ -2;9 \right\}.$
Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng $-2+9=7.$
Đáp án C.