Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn tại duy nhất một cặp số thực $\left( x, y \right)$ thỏa mãn đồng thời ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1$ và ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-m=0$. Tính tổng tất cả các phần tử thuộc $S$
A. $28$.
B. $25$.
C. $24$.
D. $27$.
A. $28$.
B. $25$.
C. $24$.
D. $27$.
Điều kiện xác định $4x+4y-4>0\Leftrightarrow x+y>1$
Ta có:
$\begin{aligned}
& {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\le 4x+4y-4\left( do {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2>1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0\Leftrightarrow x+y\ge \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}+\dfrac{3}{2}>1 \\
\end{aligned}$
Vậy nghiệm của ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0$ luôn thỏa điều kiện xác định
Yêu cầu bài toán
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-m=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm duy nhất
Ta có
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2 \\
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ có nghiệm khi và chỉ khi $m+5\ge 0\Leftrightarrow m\ge -5$
Trường hợp 1: $m=-5$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2 \\
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 16+1\le 2 \\
& x=-2;y=1 \\
\end{aligned} \right.$ (vô lý)
Loại $m=-5$
Trường hợp 2: $m>-5$
Ta có số nghiệm của $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-m=0 \\
\end{aligned} \right. $ là số điểm chung của hình tròn $ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2 $ và đường tròn $ {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hình tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2$ và đường tròn ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ chỉ có duy nhất một điểm chung
$\Leftrightarrow $ hình tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2$ tâm $I\left( 2;2 \right);\ R=\sqrt{2}$ và đường tròn ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ tâm $J\left( -2;1 \right);\ R'=\sqrt{m+5}$ tiếp xúc ngoài với nhau hoặc tiếp xúc trong và $R'>R$.
Trường hợp 1: hình tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2$ tâm $I\left( 2;2 \right);\ R=\sqrt{2}$ và đường tròn ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ tâm $J\left( -2;1 \right);\ R'=\sqrt{m+5}$ tiếp xúc ngoài với nhau
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow IJ=R+R'\Leftrightarrow \sqrt{17}=\sqrt{2}+\sqrt{m+5}\Leftrightarrow \sqrt{m+5}=\sqrt{17}-\sqrt{2} \\
& \Leftrightarrow m+5=19-2\sqrt{34}\Leftrightarrow m=14-2\sqrt{34} \\
\end{aligned}$
Trường hợp 2: hình tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2$ tâm $I\left( 2;2 \right);\ R=\sqrt{2}$ và đường tròn ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ tâm $J\left( -2;1 \right);\ R'=\sqrt{m+5}$ tiếp xúc trong với nhau và $R'>R$
$\Leftrightarrow R'=IJ+R\Leftrightarrow \sqrt{m+5}=\sqrt{17}+\sqrt{2}\Leftrightarrow m+5=19+2\sqrt{34}\Leftrightarrow m=14+2\sqrt{34}$
Vậy $S=\left\{ 14+2\sqrt{34};14-2\sqrt{34} \right\}$
Vậy tổng các giá trị của $m$ là $28$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\le 4x+4y-4\left( do {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2>1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0\Leftrightarrow x+y\ge \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}+\dfrac{3}{2}>1 \\
\end{aligned}$
Vậy nghiệm của ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0$ luôn thỏa điều kiện xác định
Yêu cầu bài toán
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-m=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm duy nhất
Ta có
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2 \\
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ có nghiệm khi và chỉ khi $m+5\ge 0\Leftrightarrow m\ge -5$
Trường hợp 1: $m=-5$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2 \\
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 16+1\le 2 \\
& x=-2;y=1 \\
\end{aligned} \right.$ (vô lý)
Loại $m=-5$
Trường hợp 2: $m>-5$
Ta có số nghiệm của $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-m=0 \\
\end{aligned} \right. $ là số điểm chung của hình tròn $ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2 $ và đường tròn $ {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hình tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2$ và đường tròn ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ chỉ có duy nhất một điểm chung
$\Leftrightarrow $ hình tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2$ tâm $I\left( 2;2 \right);\ R=\sqrt{2}$ và đường tròn ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ tâm $J\left( -2;1 \right);\ R'=\sqrt{m+5}$ tiếp xúc ngoài với nhau hoặc tiếp xúc trong và $R'>R$.
Trường hợp 1: hình tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2$ tâm $I\left( 2;2 \right);\ R=\sqrt{2}$ và đường tròn ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ tâm $J\left( -2;1 \right);\ R'=\sqrt{m+5}$ tiếp xúc ngoài với nhau
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow IJ=R+R'\Leftrightarrow \sqrt{17}=\sqrt{2}+\sqrt{m+5}\Leftrightarrow \sqrt{m+5}=\sqrt{17}-\sqrt{2} \\
& \Leftrightarrow m+5=19-2\sqrt{34}\Leftrightarrow m=14-2\sqrt{34} \\
\end{aligned}$
Trường hợp 2: hình tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2$ tâm $I\left( 2;2 \right);\ R=\sqrt{2}$ và đường tròn ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+5$ tâm $J\left( -2;1 \right);\ R'=\sqrt{m+5}$ tiếp xúc trong với nhau và $R'>R$
$\Leftrightarrow R'=IJ+R\Leftrightarrow \sqrt{m+5}=\sqrt{17}+\sqrt{2}\Leftrightarrow m+5=19+2\sqrt{34}\Leftrightarrow m=14+2\sqrt{34}$
Vậy $S=\left\{ 14+2\sqrt{34};14-2\sqrt{34} \right\}$
Vậy tổng các giá trị của $m$ là $28$.
Đáp án A.