Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn...

Điều kiện xác định
Ta có:

Vậy nghiệm của luôn thỏa điều kiện xác định
Yêu cầu bài toán
có nghiệm duy nhất
Ta có

Ta có: có nghiệm khi và chỉ khi
Trường hợp 1: ta có
(vô lý)
Loại
Trường hợp 2:
Ta có số nghiệm của là số điểm chung của hình tròn và đường tròn
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hình tròn và đường tròn chỉ có duy nhất một điểm chung
hình tròn tâm và đường tròn tâm tiếp xúc ngoài với nhau hoặc tiếp xúc trong và .
Trường hợp 1: hình tròn tâm và đường tròn tâm tiếp xúc ngoài với nhau

Trường hợp 2: hình tròn tâm và đường tròn tâm tiếp xúc trong với nhau và

Vậy
Vậy tổng các giá trị của là .