Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn tại duy nhất số phức $z$ thỏa mãn $z.\overline{z}=1$ và $\left| z-\sqrt{3}+i \right|=m$. Tìm số phần tử của $S$.
A. $2$.
B. 4.
C. 1.
D. 3.
A. $2$.
B. 4.
C. 1.
D. 3.
Gọi $z=x+y i(x, y \in \mathbb{R})$, ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1(1) \\ (x-\sqrt{3})^{2}+(y+1)^{2}=m^{2}(m \geq 0)\end{array}\right.$
Ta thấy $m=0 \Rightarrow z=\sqrt{3}-i$ không thỏa mãn $z . \bar{z}=1$ suy ra $m>0$.
Xét trong hệ tọa độ $\mathrm{Ox} y$ tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn $\left(C_{1}\right)$ có $O(0 ; 0), R_{1}=1$, tập hợp các điểm thỏa mãn (2) là đường tròn $\left(C_{2}\right)$ tâm $I(\sqrt{3} ;-1), R_{2}=m$, ta thấy $O I=2>R_{1}$ suy ra $I$ nằm ngoài $\left(C_{1}\right)$.
Để có duy nhất số phức $z$ thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với $\left(C_{1}\right),\left(C_{2}\right)$ tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều điều này xảy ra khi $O I=R_{1}+R_{2} \Leftrightarrow m+1=2 \Leftrightarrow m=1$ hoặc $R_{2}=R_{1}+O I \Leftrightarrow m=1+2=3$.
Ta thấy $m=0 \Rightarrow z=\sqrt{3}-i$ không thỏa mãn $z . \bar{z}=1$ suy ra $m>0$.
Xét trong hệ tọa độ $\mathrm{Ox} y$ tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn $\left(C_{1}\right)$ có $O(0 ; 0), R_{1}=1$, tập hợp các điểm thỏa mãn (2) là đường tròn $\left(C_{2}\right)$ tâm $I(\sqrt{3} ;-1), R_{2}=m$, ta thấy $O I=2>R_{1}$ suy ra $I$ nằm ngoài $\left(C_{1}\right)$.
Để có duy nhất số phức $z$ thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với $\left(C_{1}\right),\left(C_{2}\right)$ tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều điều này xảy ra khi $O I=R_{1}+R_{2} \Leftrightarrow m+1=2 \Leftrightarrow m=1$ hoặc $R_{2}=R_{1}+O I \Leftrightarrow m=1+2=3$.
Đáp án A.