Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn...

Gọi $z=x+yi, (x,y\in \mathbb{R})$
Ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 (1) \\
& {{\left( x-\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{m}^{2}} (m\ge 0) \\
\end{aligned} \right.$
Ta thấy $m=0\Rightarrow z=\sqrt{3}-i$ không thỏa mãn $z.\bar{z}=1$ suy ra $m>0$
Xét trong hệ tọa độ $Oxy$ tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có $O\left( 0;0 \right),{{R}_{1}}=1$, tập hợp các điểm thỏa mãn (2) là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $I\left( \sqrt{3};-1 \right),{{R}_{2}}=m$, ta thấy $OI=2>{{R}_{1}}$ suy ra $I$ nằm ngoài $\left( {{C}_{1}} \right)$
Để có duy nhất số phức $z$ thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều kiện này xảy ra khi:
$OI={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Leftrightarrow m+1=2\Leftrightarrow m=1$ hoặc ${{R}_{2}}={{R}_{1}}+OI\Leftrightarrow m=1+2=3$