Google
Câu hỏi: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=-{{(x-1)}^{3}}+3{{m}^{2}}(x-1)-2$ có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ. Tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các phần tử thuộc S là
A. 4
B. $\dfrac{2}{3}$
C. 1
D. 5
A. 4
B. $\dfrac{2}{3}$
C. 1
D. 5
Ta có: ${y}'=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}={{m}^{2}}\Leftrightarrow ~\left[ \begin{aligned}
& x=1+m\Rightarrow y=2{{m}^{3}}-2 \\
& x=1-m\Rightarrow y=-2{{m}^{3}}-2 \\
\end{aligned} \right.$
Với điều kiện $m\ne 0$ đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là: $A\left( 1+m;2{{m}^{3}}-2 \right)$, $B\left( 1-m;-2{{m}^{3}}-2 \right)$
Khi đó $O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}<{{\left( 1+m \right)}^{2}}+{{\left( 2{{m}^{3}}-2 \right)}^{2}}={{\left( 1-m \right)}^{2}}+{{\left( 2{{m}^{3}}+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 1+2m+{{m}^{2}}+4{{m}^{6}}-8{{m}^{3}}+4=1-2m+{{m}^{2}}+4{{m}^{6}}+8{{m}^{3}}+4$
$\Leftrightarrow 4m=16{{m}^{3}}\xrightarrow[{}]{m\ne 0}4{{m}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2} \\
& m=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left| {{m}_{1}} \right|+\left| {{m}_{2}} \right|=1$.
& x=1+m\Rightarrow y=2{{m}^{3}}-2 \\
& x=1-m\Rightarrow y=-2{{m}^{3}}-2 \\
\end{aligned} \right.$
Với điều kiện $m\ne 0$ đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là: $A\left( 1+m;2{{m}^{3}}-2 \right)$, $B\left( 1-m;-2{{m}^{3}}-2 \right)$
Khi đó $O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}<{{\left( 1+m \right)}^{2}}+{{\left( 2{{m}^{3}}-2 \right)}^{2}}={{\left( 1-m \right)}^{2}}+{{\left( 2{{m}^{3}}+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 1+2m+{{m}^{2}}+4{{m}^{6}}-8{{m}^{3}}+4=1-2m+{{m}^{2}}+4{{m}^{6}}+8{{m}^{3}}+4$
$\Leftrightarrow 4m=16{{m}^{3}}\xrightarrow[{}]{m\ne 0}4{{m}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2} \\
& m=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left| {{m}_{1}} \right|+\left| {{m}_{2}} \right|=1$.
Đáp án C.