Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị...

Phương trình hoành độ giao điểm ${\displaystyle \frac{2m\text{x}+m-2}{x+1}}=x+3\iff f\left(x\right)=x^2+(4-2m)x+5-m=0$ ( $x\ne -1$ ). Đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số $y={\displaystyle \frac{2m\text{x}+m-2}{x+1}}$ cắt đường thẳng $\left(d\right):y=x+3$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ & f(-1)\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2-3m-1>0\\ & m\ne -2\end{array}$ (*). $\left(C\right)$ cắt d tại A, B suy ra $x_A,x_B$ là nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=0$, theo định lí Vi-ét ta có $\{\begin{array}{rl}& x_A+x_B=2m-4\\ & x_A{x}_B=5-m\end{array}$.
$A(x_A;x_A+3),B(x_B;x_B+3)$ suy ra $AB=\sqrt{2{(x_A-x_B)}^2}=\sqrt{2{(x_A+x_B)}^2-8{\text{x}}_A{x}_B}=\sqrt{8m^2-24m-8}$.
Ta có $S_{\mathrm{\Delta }IAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}{d}_{(I;d)}AB=3\iff A{B}^2=72\iff 8m^2-24m-80=0\iff [\begin{array}{rl}& m=5\\ & m=-2\end{array}$ (thỏa mãn *).
Suy ra tổng các phần tử của S là 3.