Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị...

Phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{2m\text{x}+m-2}{x+1}=x+3\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( 4-2m \right)x+5-m=0$ ( $x\ne -1$ ). Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\dfrac{2m\text{x}+m-2}{x+1}$ cắt đường thẳng $\left( d \right):y=x+3$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& f\left( -1 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-3m-1>0 \\
& m\ne -2 \\
\end{aligned} \right. $ (*). $ \left( C \right) $ cắt d tại A, B suy ra $ {{x}_{A}},{{x}_{B}} $ là nghiệm của phương trình $ f\left( x \right)=0 $, theo định lí Vi-ét ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2m-4 \\
& {{x}_{A}}{{x}_{B}}=5-m \\
\end{aligned} \right.$.
$A\left( {{x}_{A}};{{x}_{A}}+3 \right),B\left( {{x}_{B}};{{x}_{B}}+3 \right)$ suy ra $AB=\sqrt{2{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)}^{2}}-8{{\text{x}}_{A}}{{x}_{B}}}=\sqrt{8{{m}^{2}}-24m-8}$.
Ta có ${{S}_{\Delta IAB}}=\dfrac{1}{2}{{d}_{\left( I;d \right)}}AB=3\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=72\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-24m-80=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=5 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn *).
Suy ra tổng các phần tử của S là 3.