Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để tồn tại 4 số...

Gọi $z=x+yi\Rightarrow \bar{z}=x-yi$
Ta có: $|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|=2$
$\iff |x+yi+x-yi|+|x+yi-x+yi|=2$
$\iff \left|2\text{x}\right|+\left|2yi\right|=2\iff \left|x\right|+\left|y\right|=1$ (*)
$\iff [\begin{array}{rl}& x+y=1\text{ khi }x\ge 0,y\ge 0\left(d_1\right)\\ & x-y=1\text{ khi }x\ge 0,y<0\left(d_2\right)\\ & -x+y=1\text{ khi }x<0,y\ge 0\left(d_3\right)\\ & x+y=-1\text{ khi }x<0,y<0\left(d_4\right)\end{array}$
Ta lại có $z(\bar{z}+2)-(z+\bar{z})-m=(x+yi)(x-yi+2)-(x+yi+x-yi)-m$
$=x(x+2)+y^2+(-xy+xy+2y)i-2\text{x}-m$
$=x^2+y^2-m+2yi$ là số thuần ảo $\Rightarrow x^2+y^2-m=0\iff x^2+y^2=m\left(C\right)$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (*) là hình vuông
Để tồn tại 4 số phức z thì $\left(C\right)$ phải cắt cả 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt.
Ta có $d(O;d_1)={\displaystyle \frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
Để $\left(C\right)$ cắt ở 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt thì $[\begin{array}{rl}& R_C=m={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ & R_C=m=1\end{array}$
$\Rightarrow S=\{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}};1\}\Rightarrow$ Tổng các phần tử của S là ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+1={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}$.