Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để tồn tại 4 số...

Gọi $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi$
Ta có: $\left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=2$
$\Leftrightarrow \left| x+yi+x-yi \right|+\left| x+yi-x+yi \right|=2$
$\Leftrightarrow \left| 2\text{x} \right|+\left| 2yi \right|=2\Leftrightarrow \left| x \right|+\left| y \right|=1$ (*)
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+y=1\text{ khi }x\ge 0,y\ge 0\left( {{d}_{1}} \right) \\
& x-y=1\text{ khi }x\ge 0,y<0\left( {{d}_{2}} \right) \\
& -x+y=1\text{ khi }x<0,y\ge 0\left( {{d}_{3}} \right) \\
& x+y=-1\text{ khi }x<0,y<0\left( {{d}_{4}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta lại có $z\left( \overline{z}+2 \right)-\left( z+\overline{z} \right)-m=\left( x+yi \right)\left( x-yi+2 \right)-\left( x+yi+x-yi \right)-m$
$=x\left( x+2 \right)+{{y}^{2}}+\left( -xy+xy+2y \right)i-2\text{x}-m$
$={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-m+2yi$ là số thuần ảo $\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=m\left( C \right)$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (*) là hình vuông
Để tồn tại 4 số phức z thì $\left( C \right)$ phải cắt cả 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt.
Ta có $d\left( O;{{d}_{1}} \right)=\dfrac{\left| 0+0-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Để $\left( C \right)$ cắt ở 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt thì $\left[ \begin{aligned}
& {{R}_{C}}=m=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& {{R}_{C}}=m=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow S=\left\{ \dfrac{1}{\sqrt{2}};1 \right\}\Rightarrow $ Tổng các phần tử của S là $\dfrac{1}{\sqrt{2}}+1=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$.