Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương và nhỏ hơn 2018...

Đặt $t=\sqrt{x}$, ta có $x\in \left( 1; 9 \right)\Leftrightarrow t\in \left( 1; 3 \right)$ và khi x càng tăng thì t càng tăng. Xét hàm số $g\left( t \right)=\dfrac{t-2}{t-m}$. Khi $m>0$, ta có điều kiện xác định của hàm số $t\ne m, {g}'\left( t \right)=\dfrac{2-m}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}$. Hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 9 \right)$ $\Leftrightarrow $ Hàm số $g\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 3 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-m<0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& m\ge 3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge 3$.
Vì m nguyên dương và nhỏ hơn 2018 nên ta có $3\le m\le 2017$ hay S có 2015 phần tử.