Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

(m - 1) e^{x} = 2 x (m + 1)

có 2 nghiệm phân biệt. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
A. 28
B. 20
C. 27
D. 21

Do m = -1 (không thỏa mãn phương trình) nên phương trình tương đương:

\frac{m - 1}{m + 1} = \frac{2 x}{e^{x}} = f (x)

Ta có:

f^{'} (x) = \frac{2 e^{x} - 2 x e^{x}}{e^{2 x}} = \frac{2 (1 - x)}{e^{x}}; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1

Có:

{\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{x}} = lim_{x \to - \infty} (2 x . e^{- x}) = - \infty . (+ \infty) \\ lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{e^{x}} = 0 \end{aligned}

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm khi và chỉ khi:

0 < \frac{m - 1}{m + 1} < \frac{2}{e} \overset{m > 0}{⟷} {\begin{aligned} m - 1 > 0 \\ (e - 2) m - e - 2 < 0 \end{aligned} \Leftrightarrow 1 < m < \frac{e + 2}{e - 2} \approx 6, 6 \overset{m \in N^{*}}{\to} m \in {2; 3; 4; 5; 6}

Suy ra

\sum m = (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 20

Đáp án B.