Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để...

Do m = -1 (không thỏa mãn phương trình) nên phương trình tương đương:
$\dfrac{m-1}{m+1}=\dfrac{2x}{{{e}^{x}}}=f\left( x \right)$
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{2{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}}{{{e}^{2x}}}=\dfrac{2\left( 1-x \right)}{{{e}^{x}}}; f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$
Có: $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{e}^{x}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \left( 2x.{{e}^{-x}} \right)=-\infty .\left( +\infty \right) \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{e}^{x}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm khi và chỉ khi:
$0<\dfrac{m-1}{m+1}<\dfrac{2}{e}\overset{m>0}{\longleftrightarrow}\left\{ \begin{aligned}
& m-1>0 \\
& \left( e-2 \right)m-e-2<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1<m<\dfrac{e+2}{e-2}\approx 6,6\xrightarrow{m\in {{\mathbb{N}}^{*}}}m\in \left\{ 2;3;4;5;6 \right\}$
Suy ra $\sum{m=\left( 2+3+4+5+6 \right)=20}$