Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left( -2021 ; 2020 \right)$ sao cho hàm số $y=2{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+2x$ đồng biến trên khoảng $\left( -2 ; 0 \right)$. Tìm số phần tử của tập hợp $S$.
A. $2025$.
B. $2016$.
C. $2024$.
D. $2023$.
A. $2025$.
B. $2016$.
C. $2024$.
D. $2023$.
Ta có ${y}'=6{{x}^{2}}+2mx+2$.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -2 ; 0 \right)$ khi và chỉ khi ${y}'\ge 0 \forall x\in \left( -2 ; 0 \right)$ (Vì ${y}'=0$ có hữu hạn nghiệm trên khoảng $\left( -2 ; 0 \right)$ ).
Ta có bất phương trình $6{{x}^{2}}+2mx+2\ge 0\Leftrightarrow m\le -3x-\dfrac{1}{x} \left( * \right)$ (Vì $x\in \left( -2 ; 0 \right)$ nên $x<0$ ).
Xét hàm số $g\left( x \right)=-3x-\dfrac{1}{x}$ trên khoảng $\left( -2 ; 0 \right)$.
Có ${g}'\left( x \right)=-3+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$, $\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=0 \\
& -2<x<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
BBT của hàm số $g\left( x \right)$
Từ BBT ta có $\left( * \right)$ đúng $\forall x\in \left( -2 ; 0 \right)\Leftrightarrow m\le 2\sqrt{3}$. Vậy có $2024$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -2 ; 0 \right)$ khi và chỉ khi ${y}'\ge 0 \forall x\in \left( -2 ; 0 \right)$ (Vì ${y}'=0$ có hữu hạn nghiệm trên khoảng $\left( -2 ; 0 \right)$ ).
Ta có bất phương trình $6{{x}^{2}}+2mx+2\ge 0\Leftrightarrow m\le -3x-\dfrac{1}{x} \left( * \right)$ (Vì $x\in \left( -2 ; 0 \right)$ nên $x<0$ ).
Xét hàm số $g\left( x \right)=-3x-\dfrac{1}{x}$ trên khoảng $\left( -2 ; 0 \right)$.
Có ${g}'\left( x \right)=-3+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$, $\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=0 \\
& -2<x<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
BBT của hàm số $g\left( x \right)$
Từ BBT ta có $\left( * \right)$ đúng $\forall x\in \left( -2 ; 0 \right)\Leftrightarrow m\le 2\sqrt{3}$. Vậy có $2024$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.