Google
Câu hỏi: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để bất phương trình ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}\ge 2{{x}^{2}}+4x+5-2m$ có nghiệm. Số phần tử của tập S bằng
A. 20.
B. 10.
C. 15.
D. 5.
A. 20.
B. 10.
C. 15.
D. 5.
Để ý vế trái có 2m nên bất phương trình tương đương
$\begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)+2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+1 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)+2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)\ge {{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+3 \right)+6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \\
\end{aligned}$
Sử dụng hàm số tương đồng
$\begin{aligned}
& f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+2t\Leftrightarrow f\left( t \right)\uparrow \Rightarrow f\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)\ge f\left( 3{{x}^{2}}+3x+3 \right) \\
& \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x+m+1\ge 3x2+3x+3\Leftrightarrow m\ge {{x}^{2}}+2x+2\Leftrightarrow m\ge {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \\
\end{aligned}$
Bất phương trình có nghiệm khi $m\ge \min \left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]=1$, suy ra 10 giá trị nguyên m.
$\begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)+2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+1 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)+2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)\ge {{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+3 \right)+6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \\
\end{aligned}$
Sử dụng hàm số tương đồng
$\begin{aligned}
& f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+2t\Leftrightarrow f\left( t \right)\uparrow \Rightarrow f\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)\ge f\left( 3{{x}^{2}}+3x+3 \right) \\
& \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x+m+1\ge 3x2+3x+3\Leftrightarrow m\ge {{x}^{2}}+2x+2\Leftrightarrow m\ge {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \\
\end{aligned}$
Bất phương trình có nghiệm khi $m\ge \min \left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]=1$, suy ra 10 giá trị nguyên m.
Đáp án B.