Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -10 ; 10 \right]$ để bất phương trình ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}\ge 2{{x}^{2}}+4x+5-2m$ có nghiệm. Số phần tử của tập hợp $S$ bằng
A. 15.
B. 5.
C. 20.
D. 10.
A. 15.
B. 5.
C. 20.
D. 10.
Điều kiện xác định $\dfrac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}>0$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x+m+1>0$.
Ta có ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}\ge 2{{x}^{2}}+4x+5-2m$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}-1\ge 2{{x}^{2}}+4x+4-2m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}\ge 2{{x}^{2}}+4x+4-2m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right) - {{\log }_{3}}3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$ $\ge -2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)+6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)$ $+ 2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)$ $\ge {{\log }_{3}}3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$ $+6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t +2t$ với $t>0$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 3} + 2>0,\forall t>0$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Do đó tương đương với
$f\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)$ $\ge f\left( 3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \right)$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x+m+1$ $\ge 3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$ )
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+2\le m$.
BPT ${{x}^{2}}+2x+2\le m$ có nghiệm $\Leftrightarrow m\ge \text{min} g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+2$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+2$ với $x\in \mathbb{R}$ có ${g}'\left( x \right)=2x+2$.
${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow 2x+2=0$ $\Leftrightarrow x=-1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra $\min g\left( x \right)=1$.
Do đó $m\ge 1$.
Vì $m\in \left[ -10; 10 \right]$ nên tập $S=\left\{ 1;2;...;10 \right\}$.
Vây $S$ có 10 phần tử.
Ta có ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}\ge 2{{x}^{2}}+4x+5-2m$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}-1\ge 2{{x}^{2}}+4x+4-2m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}\ge 2{{x}^{2}}+4x+4-2m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right) - {{\log }_{3}}3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$ $\ge -2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)+6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)$ $+ 2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)$ $\ge {{\log }_{3}}3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$ $+6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t +2t$ với $t>0$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 3} + 2>0,\forall t>0$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Do đó tương đương với
$f\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)$ $\ge f\left( 3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \right)$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x+m+1$ $\ge 3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$ )
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+2\le m$.
BPT ${{x}^{2}}+2x+2\le m$ có nghiệm $\Leftrightarrow m\ge \text{min} g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+2$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+2$ với $x\in \mathbb{R}$ có ${g}'\left( x \right)=2x+2$.
${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow 2x+2=0$ $\Leftrightarrow x=-1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra $\min g\left( x \right)=1$.
Do đó $m\ge 1$.
Vì $m\in \left[ -10; 10 \right]$ nên tập $S=\left\{ 1;2;...;10 \right\}$.
Vây $S$ có 10 phần tử.
Đáp án D.