Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để...

Xét hàm số: $f(x)=3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+2m$, ${f}'(x)=12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-24x$
${f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó hàm số $f(x)=3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+2m$ luôn có ba diểm cực trị với mọi giá trị của tham số $m$.
Khi đó để hàm số $y=\left| f(x) \right|$ có $7$ điểm cực trị thì đồ thị hàm số $f(x)=3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+2m$ phải cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt có hoành độ khác $-1;0;2$.
Khi đó phương trình $3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+2m=0$ phải có bốn nghiệm phân biệt khác $-1;0;2$
Xét phương trình: $3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+2m=0\Leftrightarrow -2m=3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}$
Đặt $h(x)=3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}$, ${h}'(x)=12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-24x$
${h}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $h(x)=3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}$
Để $-2m=3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}$ có bốn nghiệm phân biệt ta có: $-5<-2m<0$ $\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}<m<0$.
Vậy $S=\left\{ 1;2 \right\}$.