Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để...

${{\log }_{2}}\left| \dfrac{{{x}^{2}}-3x+m}{x+2} \right|=0\Leftrightarrow \left| \dfrac{{{x}^{2}}-3x+m}{x+2} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}-3x+m}{x+2}=1 \\
& \dfrac{{{x}^{2}}-3x+m}{x+2}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne -2 \\
& \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-3x+m=x+2 \\
& {{x}^{2}}-3x+m=-x-2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-{{x}^{2}}+4x+2\quad ({{P}_{1}}) \\
& m=-{{x}^{2}}+2x-2\quad ({{P}_{2}}) \\
\end{aligned} \right.\quad \left( x\ne -2 \right)$
Trường hợp 1: Phương trình ban đầu có 2 nghiệm thì đường thẳng $y=m$ sẽ cắt 2 đồ thị tại 2 điểm. Dựa vào đồ thị ta có
$-1<m<6$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $S=\left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\}$
Trường hợp 2: Xét tương giao 2 đồ thị $y=-{{x}^{2}}+4x+2$ và $y=-{{x}^{2}}+2x-2$ : $-{{x}^{2}}+2x-2=-{{x}^{2}}+4x+2\Leftrightarrow x=-2$
Với $x=-2$ thì $m=-10$
Vậy với $m=-10$ thì đường thẳng $y=m$ sẽ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt nhưng có 1 điểm có hoành độ $x=-2$, do đó $m=-10$ thỏa mãn.
Vậy tổng các phần tử của S là 5.