Google
Câu hỏi: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m trên đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y={{8}^{\cot x}}+\left( m-3 \right){{.2}^{\cot x}}+3m-2$ đồng biến trên $\left[ \dfrac{\pi }{4};\pi \right)$. Số phần tử của S là
A. 2
B. 8
C. 1
D. 7
A. 2
B. 8
C. 1
D. 7
Đặt $t={{2}^{\cot x}}$ mà $x\in \left[ \dfrac{\pi }{4};\pi \right)\Rightarrow t\le 2$. Do đó ${{y}_{t}}={{t}^{3}}+\left( m-3 \right)t+3m-2$
Suy ra ${{{y}'}_{t}}={t}'.\left( 3{{t}^{2}}+m-3 \right)=-\dfrac{{{2}^{\cot x}}}{{{\sin }^{2}}x}.\left( 3{{t}^{2}}+m-3 \right)\ge 0;\forall t\le 2\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+m-3\le 0,\forall t\le 2$
$\Leftrightarrow m\le 3-3{{t}^{2}};\forall t\le 2\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -\infty ;2 \right]}{\mathop{\min }} \left( 3-3{{t}^{2}} \right)=-9\Leftrightarrow m\le -9$
Kết hợp với $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& -10\le m\le 10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 2 giá trị nguyên m cần tìm.
Suy ra ${{{y}'}_{t}}={t}'.\left( 3{{t}^{2}}+m-3 \right)=-\dfrac{{{2}^{\cot x}}}{{{\sin }^{2}}x}.\left( 3{{t}^{2}}+m-3 \right)\ge 0;\forall t\le 2\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+m-3\le 0,\forall t\le 2$
$\Leftrightarrow m\le 3-3{{t}^{2}};\forall t\le 2\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -\infty ;2 \right]}{\mathop{\min }} \left( 3-3{{t}^{2}} \right)=-9\Leftrightarrow m\le -9$
Kết hợp với $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& -10\le m\le 10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 2 giá trị nguyên m cần tìm.
Đáp án A.